Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
R [[*, x]]/{?f + EV*. о = R тУЫ'
Докажем теперь У-инфинитезимальную устойчивость /. Мы должны решить для каякдого столбика вариаций (8у, 8z) высоты t-fr из функций от X и X уравнение
р
относительно столбиков h, gf, gp из функций OT X и X и числового столбика с.
Все члены, содержащие X, можно уничтожить выбором g. Поэтому достаточно решить для каждого столбика вариаций (§у, Sz), зависящего лишь от ж, уравнение
і
относительно столбиков A, gi из функций от г и числового столбика с. Это уравнение запишем в виде системы
by = [df/dx) hx -f" ah.2 -f- 2 + C1,
і
82 = /? + 2 Cfigii 2+ C3. 133 ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Подставляя найденное из второго уравнения h2 в первое уравнение, получаем уравнение относительно A1, g{ и с:
by — a Sz = (д<?1дх) A1 + 2 <Р< (g{. і — <*ёГ4,2) + (? — *с2).
і
Положим g1>2=0. Заметим, что столбик C1 — это общая числовая линейная комбинация t базисных векторов ек, а столбик aC2 — общая числовая линейная комбинация г выбранных нами столбиков Но образы всех ек и ар порождают Т. Это означает разрешимость уравнений вида $ = (ду/дх) A1+ E Cpi +(C1-OtC2) относительно A, gf и с. Итак, наше уравнение разрешимо. Следовательно, росток / F-инфинитезимально устойчив, а значит, и устойчив (§ 7).
9.5. Предварительная нормальная форма. Пусть /: (Rm, 0) —> -> (R", 0) — росток гладкого отображения иг — ранг дифференциала / в нуле. Обозначим коранги в прообразе и в образе через s—m—г, t—n—г.
Предложение. Координаты в прообразе и в образе можно выбрать так, что отображение f запишется формулами
y = f(x, X), (х, X) б (R8 X Rr = R'"),
з = *, (У. 2)6(R^XRr = R"), (i)
где ср по меньшей мере второго порядка малости в нуле: ср (0, 0)=0, dcp (0, 0)=0.
Замечание. Иными словами, отображение ненулевого ранга f локально можно представить в виде семейства отображений пространств меньших размерностей; размерность пространства параметров равна рангу, а размерности упомянутых пространств меньших размерностей равны корангам. Говорят также, что росток отображения / является разверткой ростка отображения ср: (R*, 0)-*(R', 0), ф (х) = ш (х, 0); ф называется генотипом ростка /.
Доказательство. Предложение вытекает из теоремы о неявной функции. Действительно, образ дифференциала / в 0 — это г-мерное подпространство в R". Пусть Z1, . . ., Zr— функции в Rn, определяющие систему координат в зтом подпространстве. Отображение / переносит функции Zk в пространство-прообраз Rm; обозначим перенесенные функции через \k—f*zk. Дифференциалы этих г функций в 0 независимы. Поэтому их можно дополнить до системы координат в црообразе, выбрав еще s координат х{. Функции Zk мояшо дополнить до системы координат в R", выбрав координаты утак, чтобы их дифференциалы в нуле обращались в нуль на образе дифференциала /. Полученная система координат обладает всеми нужными свойствами.
Теорема (об устойчивости предварительной нормальной формы). Росток отображения (4) в нуле RL-устойчив, если и только если § lJj КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТШІД.М і 25
образы базисных векторов ef = djdyj и г столбиков = <9cp/<9XA |.
порождают линейное пространство T = > ^ejj, опреде-
ленное по генотипу <р(х)^<р (х, 0).
Формула (4) является обобщением на нелинейные деформации формулы (3), в которой зависимость от параметров X предполагалась линейной. Устойчивость ростка отображения (4) исследуется таким же образом, как устойчивость надстроенного ростка.
Доказательство не отличается от доказательства теоремы об устойчивости надстроенного ростка (п. 9.4).
Определение. Тривиальным р-параметрическим расширением ростка /: (R'n, 0) -»(R", 0) называется росток отображения
Очевидно, при тривиальном расширении устойчивость сохраняется, т. е. не исчезает и не появляется.
Теорема. RL-устойчивый росток (4) RL-эквивалентен надстройке над своим генотипом ф либо ее тривиальному расширению (если r-\-t dim Т, то расширение r-j-i — dim Т-параметри-ческое).
Доказательство. Действительно, росток расширенной надстройки RL-устойчив по теоремам п. 9.3, 9.5. Он У-экви-валентен ростку (4), так как оба определяют совпадающие идеалы: /?>х=/ф>х. По теореме п. 9.1 зти ростки /^-эквивалентны.
Доказанная теорема сводит отыскание нормальных форм устойчивых ростков (Rm, 0) -> (R", 0) к гораздо более легкой задаче У-классификации их генотипов, т. е. ростков отображений пространств меньших размерностей.
Действительно, при замене генотипа f У-зквивалентным ростком .RL-класс надстройки не меняется (по теоремам п. 9.1 и п. 9.3). Обратно, если надстройки /^-эквивалентны, то они У-эквивалентны и, следовательно, соответствующие генотипы У-зквивалентны.
9.6. Устойчивые ростки коранга 1.
Теорема (Морен [158]). Устойчивый росток /: (R", 0) —> (R", 0), коранги которого равны 1, RL-эквивалентен тривиальному расширению ростка обобщенной сборки Уитни:
Доказательство. В этом случае генотип f — функция одной переменной. Пусть ft — ее порядок в нуле. Тогда $ легко привести к виду хк. По предыдущей теореме росток / эквивалентен (тривиально расширенному) ростку надстройки над ж4. Отсюда следует и неравенство к ^ га+1 и вся доказываемая теорема.
