Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
*) Отсюда, между прочим, видно, что размерности баз мияиверсальных. деформаций V-эквивалентных ростков одинаковы. § lJj КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТШІД.М і 25
§ 9. Классификация устойчивых ростков по генотипам
Здесь доказана теорема Мазера, сводящая классификацию Д/у-устойчивых ростков к ^-классификации ростков отображений пространств меньшей размерности (ср. [152]).
9.1. F-эквивалентные JSi-устойчивые ростки ML-эквивалентны. Пусть /: (Rm, 0) (Rn, 0) — росток гладкого отображения.
Рассмотрим следующую «-параметрическую деформацию ростка /:
F(x, \)~f(x) — \, X(jR".
Множество нулей .этой деформации (т. е. F-1 (0) С Rm X R*) есть график ростка /. Очевидна
Теорема. Деформация F является V-версалъной, если и только если росток f RL-устойчив.
Доказательс т в о. Условие (инфинитезимальной) ЛХ-устойчивости ростка / состоит в существовании для всякой вариации а ростка / разложения (см. § 7)
® (®) = -? А (®) + 2 ^ ^ ki ^ 2
где ег, . . ., еа — базис R". Но начальные скорости деформации F равны как раз — е{, поэтому условие (инфинитезимальной) F-версальности деформации F ростка f состоит в существовании ровно такого же разложения (п. 8.2). Теорема доказана.
Теорема. Пусть f и /': (Rm, 0) (R", 0) — RL-ycmou-чивые V-эквивалентные ростки. Тогда j и У RL-эквивалентны.
Доказательство. Составим версальные деформации F (х, X) = / (а:)—X, F' (х, X) == /' (х)—X. Согласно теореме п. 8.6 существует локальный диффеоморфизм H пространства {(ж, X)}, содержащего график /, яа пространство, содержащее график /', расслоенный над пространством значений R" (т. е. переводящий семейство плоскостей X=Const в то же семейство плоскостей) и переводящий график / в график /'. Этот диффеоморфизм H и задает диффеоморфизмы пространств прообразов и образов, превращающие / в /' (диффеоморфизм пространств-прообразов получается из диффеоморфизма графиков при замене точек графиков (х, / (х)) и (х', /' (х')) их проекциями X и х' соответственно).
9.2. Классификация устойчивых ростков по их идеалам. Пусть /: (Rm, 0) (R", 0) — росток гладкого отображения. Локальная R-алгебра Q (/) отображения / определяется точной последовательностью
0-/,-^-^(/)-0, (1)
где If — идеал, заданный компонентами / в алгебре ростков функций (или рядов) ОТ X, І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Если /' — У-эквивалентный / росток, то соответствующие / и /' точные последовательности эквивалентны, т. е. существует коммутативная диаграмма
в которой вертикальные стрелки — изоморфизмы R-алгебр. Результаты п. 9.1 моясно сформулировать так:
Теорема. RL-Kjiacc RL-устойчивого ростка f однозначно определяется идеалом If, рассматриваемым с точностью до экви-валентностей (2) последовательностей (1).
Замечание. Поскольку устойчивый росток n+l-определен, он определяется даже классом If mod ш"+2. Это усиление существенно при та > га, так как в этом случае R-простраиство Q (J) бесконечномерно, a Qn^ (f)=AJ(If-\-m?+2) конечномерно. Можно также доказать, что устойчивый росток / определяется If mod т?+3, где г — ранг дифференциала / в нуле. Более того, класс Ді-зквивалентности і?!/-устойчивого ростка /: (Rm, 0) -> -*¦ (R", 0) определяется числами иг, га и самой конечномерной локальной R-алгеброй Qr+а (/), рассматриваемой с точностью до изоморфизма R-алгебр, а не только с точностью до эквивалентностей (2). Доказательство см., например, в Г152], Г151].
9.3. Построение устойчивых ростков. Возникает вопрос: всякая ли конечномерная локальная R-алгебра Q встретится в качестве Qn+1 (/) для некоторого устойчивого ростка /? Ответ на этот вопрос положительный.
Пусть ср: (R*, 0) ~> (R', 0) — росток гладкого отображения с конечномерной F-версальной деформацией*). Таким образом, мы предполагаем, что фактор-пространство
конечномерно. Пусть еще производная ср в нуле равна нулю. В этом случае в качестве базиса фактор-пространства T можно взять t образов базисных векторов ef и еще г образов конечного числа «столбиков» а1; . . ., аг, обращающихся в 0 в нуле (в качестве аг всегда можно взять даже столбики-одночлены).
Определение. Надстроенным ростком для да называется росток отображения /: (R* X Rr, 0) -> (R* X Rr, 0), (х, X) (у, z),
і і і
(2)
*) S — от «source» (источник), t — от «target» (цель). § lJj КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТШІД.М і 25
определенный формулами
I у = ?(«)+ і р=і
Росток <р называется генотипом надстроенного ростка.
Пример. Пусть s=t=1, генотип ср (а;) = х3. Фактор-пространство R [ [х]]/{Зат2, х3} порождается образами столбиков высоты 1 ег=і, Ctl=X. Следовательно, надстроенный росток задается формулой у=х?-\-1х, z=X. Итак, надстраивая генотип Xz в нуле, мы получили росток отображения Уитни в точке сборки, Задача. Надстроить генотипы ср±: (R2, 0)->(R2, 0), где T1 =
= Ж2 + X2) ср2 = X1X2.
Теорема. Надстроенный росток устойчив, а его локальная R-алгебра изоморфна Л-алгебрв генотипа: Q{f) = (?(?), Qk (/) = = <?*(?)•
9.4. Доказательство теоремы о надстроенном ростке. Вычис ляя R-алгебру Q(f), находим
