Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Большая орбита — это орбита А-струи под действием бесконечномерной группы диффеоморфизмов пространств прообраза и образа в большом пространстве струй; средняя — под действием подгруппы, оставляющей на месте 0 в прообразе в среднем пространстве струй.
Рассмотрим А-струйное расширение ростка отображения /. Это — росток отображения пространства-прообраза (Rnt, 0) в большое пространство струй:
ff: (R"\ 0) —> Jk (т, п).
Мы будем называть это расширение большим.
Определение. Средним и малым к-струйными расширениями ростка / называются ростки в нуле отображения простран-ства-прообраза в среднее и малое пространства струй, получающиеся из большого расширения последующими проектированиями на эти пространства.
Пример. Для /(X)=OX2 большое, среднее и малое 2-струй-ные расширения задаются формулами
E ^ (5, а%2, 2а|, 2а), 2а?, 2а) и I ^ (2а?, 2а)
соответственно.
Теорема. Росток/: (R'", 0) (R", 0) отображения в п-мерное пространство инфинитезимально устойчив, если и только если при каком-нибудь (и тогда любом) A^ п его большое (соответственно среднее, малое) k-струйное расширение трансверсально большой (соответственно средней, малой) орбите к-струи / в нуле.
Пример. Росток f=ax2 в нуле инфинитезимально устойчив, если и только если его 1-струйное большое (среднее, малое) расширение трансверсально плоскости (прямой, точке) р=0. Это имеет место при а=7^=0.
Доказательство. Чтобы отображение в пространство расслоения было трансверсальным к подрасслоению, необходимо и достаточно, чтобы после проектирования на базу расслоения из данного отображения получалось отображение, трансверсальное к базе подрасслоения. Применим это к расслоению большого пространства струй над средним и среднего над малым и к подрасслое-ниям, образованным орбитами. Мы убеждаемся, что утверждение теоремы достаточно доказать для средней орбиты.
Вычислим касательное пространство к средней орбите в ее точке jk{f). С этой целью, пользуясь системами координат, отождествим касательное пространство к среднему пространству струй с самим этим пространством струй. § 7] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ
Ю5
Предложение 1. к-струя а принадлежит касательному пространству к средней орбите к-струи отображения f в 0, если и только если а допускает разложение
а = - -g- А (*) + fc (/ (X)) mod
где Л (0) = 0.
Доказательство. Для любых h и Jc
de
, / (х - Bh (X)) -f efc (/ (х - еЛ (X))) = -V_h(x) + 7c(f (X)).
Если Л(0)=0, то, беря Ar-струю от левой и правой частей в нуле, получаем искомое разложение.
Замечание. Правая часть зависит именно от /с-струи / в нуле, а не от /с+1-струи, так как Ti(O)=O.
Предложение 2. Образ касательного вектора ? (] T10Rm под действием производной от среднего k-струйного расширения / в нуле — это к-струя
(df/дх) S mod m*+10.
Доказательство. По определению, мы должны вычислить главную линейную часть по S от (/ох^) — /'*/, где х^ (х) = х -f-Рассмотрим разложение Тейлора
f(x + %)-f(x) = (dfldx)%+o(l).
Взяв /fc-струю по X при х=0 от левой и правой частей, получаем
/о* (fo^) - /о* (/) = [/ofc (df/dx)] 5 + о (?),
что и требовалось доказать.
Замечание. Образ вектора E зависит от A+1-струи / и не определяется /с-струей.
Окончание доказательства теоремы. Условие трансверсальности ^-струйного расширения / средней орбите в нуле имеет, согласно предложениям 1 и 2, следующий вид: всякая вариация а ростка отображения в нуле допускает разложение
(Tp) а (х) = - h (X) + S + к (/ (X)) mod шГ0.
где h (0) = 0.
Условие же инфинитезимальной устойчивости состоит в существовании разложения
(ИУ) a (x) = -^h(x) + Jc(f(x))
без ограничения Л (0)=0. 110
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
Разложение (Tp) получается из (ИУ) выделением свободного члена Ti, поэтому из инфинитезимальной устойчивости следует трансверсальность при любом к. Обратно, пусть трансверсальность (Tp) имеет место для какого-либо к"^ п. Тогда разложение (Tp) имеется и для к—п. Следовательно, / — ПУТЇУ-росток. По'лемме 3 п. 7.1 / — ТИУ-росток, а значит, и ИУ-росток (п. 6.6).
Теорема доказана.
7.3. Доказательство устойчивости. Пусть /: (Rm, 0) -> (R", 0) — инфинитезимально устойчивый росток.
T е"о рема устойчивости (Мазер). Росток f устойчив.
,Дока з^а тельство. Зафиксируем представителя /: U -»•R" ростка / и|рассмотрим любое достаточно близкое (с п-\-2 ^ # производными) отображение /: U -*¦ Rn.
~ ~ " По теореме п. 7.2 га+1-струйное рас-
ширение отображения / трансверсально пересекает большую орбиту ra+1-струи отображения / в 0. Сле-Г довательно, я+1 -струйное расшире-f ние отображения / трансверсально пересекает эту большую орбиту в некоторой точке, близкой к ra+1-струе отображения / в 0 (рис. 43). Р"? Таким образом, ге+1 -струя отображения / в некоторой точке O, близкой к 0, лежит в большой орбите re+1-струи отображения f в 0. Докажем, что росток отображения / в O лево-право эквивалентен ростку отображения / в 0. Действительно, по определению большой орбиты, ті-f~ 1 -струи / в 0 и / в O лево-право эквивалентны, т. е. существуют замены координат в Rm и в R", превращающие росток / в O в росток отображения g в 0, ra-f-1-струя которого совпадает с ra+1-струей / в 0. По теореме п. 7.1 ra+1-струя / в 0 достаточна. Следовательно, ростки / и g в нуле лево-право эквивалентны. Значит, ростки / в 0 и / в O лево-право эквивалентны, что и доказывает теорему.
