Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Сборка Уитни инфинитезимально устойчива (п. 6.6, стр. 102) и, следовательно, устойчива.
Задача. Доказать устойчивость ростка обобщенного отображения Уитни E1": (R", 0) (R",0) (п. 2,5, стр. 38) и эллиптического и гиперболических ростков отображений Г2: (R4, 0) -*¦
(R4, 0) (п. 3.6, стр. 54).
/ '
у s
большая , - /т орбита
а к"
Рис. 43. ЙЁР САЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
111
§ 8. Версальные деформации
При рассмотрении всевозможных особенностей обычно наибольший интерес представляет случай общего положения, в то время как от всех более сложных особенностей можно избавиться малым шевелением. Например, функция общего положения имеет лишь невырожденные критические точки; вырожденные критические точки, вроде критической точки функции ж3, распадаются на невырожденные при сколь угодно малом шевелении ж3—ex.
Однако во многих случаях нас интересует не индивидуальный объект, а целое семейство объектов, зависящих от одного или нескольких параметров. Вырожденные особенности, устранимые при каждом фиксированном значении параметров, могут становиться неустранимыми для всего семейства: в пошевеленном семействе вырождения возникают при измененных, но близких к исходным значениях параметров. Рассмотрим, например, семейство функций Tt-Artx, зависящих от параметра t. При f =0 функция семейства имеет вырожденную критическую точку, и всякое близкое семейство будет иметь вырожденную критическую точку при близком к нулю значении параметра, хотя при каждом фиксированном значении параметра вырождение можно устранить малым шевелением.
Таким образом, вырождения не общего положения становятся неустранимыми, если рассматривается не индивидуальный объект, а семейство. Но тогда естественным объектом изучения является не сама вырожденная особенность, а семейство, в котором эта особенность становится неустранимой; при этом мы должны изучить, как эта особенность распадается (бифурцирует) при изменении параметров семейства.
Семейство, рассматриваемое локально (вблизи фиксированного значения параметров), называется деформацией объекта, отвечающего этим значениям параметров. Оказывается, во многих случаях изучение всевозможных деформаций удается свести к изучению одной-единственной деформации, в некотором смысле самой большой; все остальные деформации получаются из нее. Такие деформации называют версалъными. Слово «версальный» образовано пересечением слов универсальный и трансверсалъный (приставка уни отбрасывается, как указывающая на единственность, которой может и не быть; трансверсальность же к подходящему подмножеству в функциональном пространстве является отличительным признаком версальной деформации).
Понятие версальной деформации является важным общематематическим понятием, имеющим многочисленные приложения.
Рассмотрим, например, вопрос о приведении к нормальной форме матрицы линейного оператора. Жорданова нормальная форма неустойчива в том смысле, что при малом шевелении оцера- 112
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
тора как нормальная форма, так и приводящее преобразование меняются скачком. Версальная деформация матрицы — это такая нормальная форма, к которой можно привести не только индивидуальную матрицу, но и все близкие, причем приводящее преобразование гладко зависит от параметров (см. [4], [17], где указан явный вид версальных деформаций матриц и приведены приложения к теории бифуркаций фазовых портретов динамических систем).
Ниже приведены теоремы, позволяющие явно находить вер-сальные деформации вырожденных особенностей гладких отображений.
8.1. Определение нереальной деформации. Начнем с конечномерной ситуации. Пусть G — группа Ли, действующая на многообразии М, и пусть / — точка из М. Деформацией точки f называется росток гладкого отображения F многообразия Л (называемого базой деформации) в M в точке 0 из Л, для которого F(O) =/ (рис. 44).
Рассмотрим две деформации F и F' с общей базой Л одной и той же точки /. Эти деформации называются эквивалентными, если одна переходит в другую под действием гладко зависящего от X ^ Л элемента g(K) группы G, т. е. если
где g — деформация единицы группы.
Пусть ср: (А', 0)-^-(Л, 0) — гладкое отображение. Деформацией, индуцированной из F при отображении ср, называется деформация у* F точки / с базой Л', заданная формулой
(f*F) (У) = F (ср (к)).
Деформация F точки / называется версалъной, если всякая деформация точки / эквивалентна индуцированной из F.
Версальная деформация называется миниверсалъной, если размерность базы имеет минимальное возможное значение. Легко доказывается
Теорема. Минимальная трансверсалъ в точке f к орбите Gf точки f в M является миниверсалъной деформацией точки /.
Доказательство. Зафиксируем какую-либо мини-трансверсаль F: (А, 0) (М, /) и проведем через единицу группы трансверсаль К к стационарной группе Hf точки /. Действие группы G определяет росток гладкого отображения а: К X F(A)-^-M в точке (е, 0). Это — росток диффеоморфизма (a(g, m)=gm, g?K, meF(A), рис. 44). ЙЁР САЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
