Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
а(х, X, и)=~Е(х, X, ц) + /Г(Ф, X, + а). (**)
Мы начинаем с разложения инфинитезимальной версальности
Из этого разложения получаем *(х, X, B)=~A(®) + A(®(®1 X, B)) +
^x'х' "Я*
Подставляя такие же разложения а0 и а; в эту формулу, повышаем порядок остаточного члена по и и X, причем h (х) превращается в H (ж, X, и), к (у) — в К (у, X, и) я ? — в S (X, и).
^Подготовительная теорема применяется здесь к Ау_ х м-модулю (А*. 1> и)-{-К(Ф(х, X, и), X, и)|, отображению
(у, X, ц)ь-у(Х, ц) и образующим ЗФ/ЗХ^.
Замечание 2. Если рассматриваемый росток / инфинитезимально устойчив, то в качестве его версальной деформации можно взять 0-параметрическук> деформацию, состоящую из одного этого ростка. Таким образом, теорема версальности утверждает, что всякая деформация инфинитезимально устойчивого ростка тривиальна; продеформированное отображение имеет в подходящей точке росток,"эквивалентный исходному.
' К сожалению, из этого свойства деформационной устойчивости (тривиальности всех деформаций) не легко вывести настоящую устойчивость.
Пусть {ft} — гладкое семейство, соединяющее отображение /0 и близкое отображение Если росток /0 в нуле деформационно устойчив, то при малых"* отображение ft имеет в подходящей близкой к 0 точке росток," эквивалентный ростку /0 в нуле. Однако даже если Z1 близко к /0ї не очевидно, что"такое свойство отображе- ЙЁР САЛЬНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
119
ний ft сохраняется вплоть до t— 1. В действительности деформационная, инфинитезимальная и обычная устойчивости эквивалентны: мы только что доказали ИУ => ДУ, а в § 7 доказано ИУ => У. Обратное доказывается легче, но практически бесполезно (ибо как бы мы узнали, что росток устойчив?).
Замечание 3. Подобно тому как деформационная устойчивость эквивалентна устойчивости, версальность деформации эквивалентна более сильному свойству устойчивости деформации: для всякого представителя F: {U, 0) (R", 0) ростка F существует такая окрестность E этого представителя в пространстве гладких отображений области U, что для любого отображения F': U -> R" из E существует такая точка 0', что росток F' в 0' определяет эквивалентную ростку F в 0 деформацию ростка /', эквивалентного /.
Более того, если отображение F' в U достаточно близко к F, то точку 0' можно найти сколь угодно близко к 0, а эквивалентность — сколь угодно близкой к тождественной.
Доказательство устойчивости версальной деформации аналогично доказательству теоремы устойчивости (§ 7): нужно лишь заметить, что версальность семейства эквивалентна трансверсальности орбите в подходящем пространстве струй.
8.5. Единственность версальной деформации.
Теорема. Любая l-параметрическая версальная деформация ростка f эквивалентна деформации, индуцированной из любой другой версальной деформации с I параметрами при диффеоморфном отображении баз.
Докажем это для случая F-версальности, который потребуется дальше. »а!; -
Пусть Z — минимальная размерность базы F-версальной деформации, т. е. размерность линейного пространства
Обозначим проекцию пространства вариаций (Aa)" на T через п.
Для версальности Z-параметрической деформации F необходимо и достаточно, чтобы I векторов ^Ft порождали Т.
Любая деформация F' ростка / эквивалентна индуцированной из версальной, т. е. записывается в виде
F' (ж, X) = М(х, l)F(g(x, X), т(Х)),
g(x, 0) = ®, T(O)==O, М(х, 0)f(x)~f(x).
Дифференцируя по Xi в нуле, получаем Ptt = Aj+м(х, о+ 0)-?-
*< (^ = жгЦ)- І50 основные понятия " [гл. i
Заметим, что поскольку F' (ж, 0 )~F (х, 0) = / (ж), то dxf 1 1 \ » / дж,- '
и, следовательно, Л/ (х, 0) принадлежит Аж-модулю {dfjdx,
fSj}-
Итак,
Если бы I векторов <р,. были зависимы, то I векторов TzF1i также были бы зависимы, вопреки версальности деформации F'. Итак, ср — диффеоморфизм. Это доказывает наше утверждение для мини-версальных деформаций.
Если число параметров деформации F' больше минимального, то наше рассуждение показывает, что деформация F' эквивалентна индуцированной из Z-параметрической миниверсалъной деформации при отображении баз, имеющем ранг I.
Все получающиеся таким способом деформации F' с фиксированным числом параметров очевидно переводятся друг в друга диффеоморфизмами базы и зквивалентностями.
8.6. Деформации эквивалентных ростков.
Теорема. Версалъные деформации, FuF' V-эквивалентных ростков /, /': (Rm, 0)->(R", 0) с одинаковым числом параметров I V-эквивалентны в следующем смысле: существуют росток диффеоморфизма Н: (Rm x 0)(Rm x R', 0) вида (ж, Х)>-> ь* (h (ж, Х),ср (X)) и росток обратимой матрицы М: RotXR' -> GL (Rn) в точке 0 такие, что
F' (ж, X)== M (ж, \)F(k(x, X), ?(Х)).
Доказательство. По условию /' (ж) = M (х) f (g (ж)). Применив то же «преобразование (М, g)» к версальной деформации F ростка /, мы получим Z-параметрическую деформацию F" ростка /', а именно F" (ж, X) = M (ж) F (g (ж), X). Деформация F" ростка /' версальна, так как деформация F ростка / версальна (ибо преобразование (М, g) переводит деформации ростка эквивалентные индуцированным из F, в деформации ростка /', эквивалентные индуцированным из F") *). По теореме п. 8.5 деформация F' эквивалентна индуцированной диффеоморфизмом из F": F' (ж, 1)=М' (ж, X) F" (g' (ж, X), ср (X)). Подставляя вместо F" ее определение, получаем искомое разложение.
