Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
^Dd1..., у -> П (tf* (Si ш) + «/.ш)),
Jc
где Ia ш—поле на прообразе fk, I4 ш—поле на образе fk.
Определение. Диаграмма D называется инфинитезимально устойчивой, если aD сюръективно.
Теорема ST (см. [110], [112]). Если диаграмма D не содержит поддиаграмм вида\
M1^-Ma-* M3
(расходящихся) или циклов, то из инфинитезимальной устойчивости вытекает устойчивость D.
Замечания. 1. Для многих диаграмм специального вида, например для диаграмм из примеров 2 и 3, справедлива аналогичная теорема (в определении инфинитезимальной устойчивости нужно рассматривать векторные^поля соответствующего вида).
2. Заметим, что диаграмма, содержащая ориентированные циклы, не может быть устойчивой (см. [112]).
3. Доказательство теоремы ST основано на следующем алгебраическом следствии подготовительной теоремы Вейерштрасса— Мальгранжа. Рассмотрим двойственную диаграмму D', вершины которой есть пространства функций на Mk, стрелки—отображения fl, двойственные к /г В работах [110], [112] вводятся опре- § 10]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
146
деления адекватного сжатия гомоморфизма /? и адекватного сжатия гомоморфизма, построенного по диаграмме D' в целом. Оказывается, что из существования адекватного сжатия для всех f\ вытекает адекватность сжатия гомоморфизма, соответствующего диаграмме, не имеющей циклов и расходящихся поддиаграмм. Имеются примеры расходящихся диаграмм, для которых это утверждение нарушается для колец аналитических функций. В случае ^""-отображений для диаграмм, содержащих расходящиеся поддиаграммы, теорема ST не доказана, но и не построены контрпримеры.
Рассмотрим локальную диаграмму
Легко показать, что D0 является инфинитезимально устойчивой. В [111 ] доказывается, что D0 является устойчивой в классе Cca-диффеоморфизмов и отображений. Однако в классе аналитических отображений D0 не является устойчивой. Подобное различие между гладким (формальным) и аналитическим случаями встречается и в задачах о нормальных формах особенностей функций под действием группы диффеоморфизмов образа.
, Подробное исследование расходящихся диаграмм имеется в диссертации Дюфура (см. также [1091—[1121). Приведем некоторые из его результатов.
Теорема. Диаграмма R R" R устойчива тогда и только тогда, когда во всякой своей точке она эквивалентна одной из следующих диаграмм:
D0: (R2, 0)Д(И», 0) Д (R, 0), в координатах (х, у) ? R2 имеющую вид
(х, у2) (х, у)-^(х-\-ху-\-у2).
X1 -?- (?, • • • ) —> X2,
'2>
п
п
X1+-(X1, ¦ ¦ Я,)-*®!+ S (±®?),
•=2
я
X1 (X1, . . хп) X21 + 2 (±®?).
X2^(X1, ..од-*?3 + 3??+?+ 2 (±®j).
<=3
Теорема. Локальная устойчивая диаграмма вида
IR"-^R 138
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[гя. і
при га=1 эквивалентна либо диаграмме
X
У
Ч
X
либо диаграмме
У
X-9-Х
-ч
4V..
-4' 1
при п > 2 эквивалентна диаграмме
(ocv OCz.....OCn)-^ Xz
К вопросу устойчивости примыкает более тонкий вопрос о конечной определенности диаграмм (т. е. устойчивости в классе диаграмм с фиксированной струей некоторого порядка). Обобщениям критерия Мазера конечной определенности посвящены работы 110], [22], [28], [49], [64], [137], [170]. В работах [22], [48] рассматриваются условия устойчивости и конечной определенности в случае диффеоморфизмов и отображений конечного класса гладкости.
В [23], [49] рассматриваются условия инфинитезимальной устойчивости диаграмм из примера 7 и семейств таких диаграмм для отображений /: (М, 0) —> (М, 0), спектр линейной части которых лежит по одну сторону единичной окружности. Заметим, что не существует инфинитезимально устойчивых ростков отображений, имеющих вырожденную линейную часть.
10.2. Эквивариантная теория. Изучение особенностей отображений, обладающих некоторой симметрией, приводит к следующей конструкции.
Рассмотрим компактную группу Ли G, действующую на многообразиях JVf1, M2, и рассмотрим действие на G-эквивариантные отображения /: M1 —> M2 группы G-инвариантных диффеоморфизмов M1 и M2. В [165], [166] доказано, что из инфинитезимальной версальности семейств таких отображений вытекает версальность. Условия инфинитезимальной версальности семейства отображений можно интерпретировать как трансверсальность некоторого отоб- § 10]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
139
ражения G-инвариантному стратифицированному подмгногооб-разию в пространстве струй отображений /: M1 ~> M2.
Определение трансверсальности (^-инвариантного отображения G-инвариантному стратифицированному подмногообразие см. в [117], [195]. В этих работах доказаны теоремы об открнтості и всюду плотности множества G-трансверсальных отображений в пространстве всех G-отображений.
Иначе обстоит дело в задаче о разрушении симметрии: здесь результаты формального исследования не переносятся на случай сходящихся рядов. Эта трудность возникает уже в задаче о приведении к нормальной форме четными заменами переменных функции одной комплексной переменной с невырожденной критической точкой нуль, если симметрия разрушается, т. е. если приводимая функция не является четной.
