Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
F: (RmXRp, 0)-> (RraXR", 0), F{x, u) = tf(x), и).
(ft < и-J- 1).І 26
ОСНОВНЫЕ понятия
[гл. і
Теорема (Морен [158]). Устойчивый росток f: (Rm, 0) ->
(R", 0) коранга 1 в прообразе RL-эквивалентен тривиальному расширению ростка обобщенного зонтика Уитни:
' У, = х* + 0 + Xli2Xft"2 + . . . + X1,
У2 = Ч I**-1 + Ч 2*A-2 + • • • + Ч H-Ix, .....................
Ус = Ч X^-1+Ч + ¦¦¦ 4- Ч Ic-Ix'
Z = ¦ X t(k — 1)<лг.
Замечание. В условиях теоремы пг <1 п, r=m—1, ?=гг—г=п—лг+1.
Пример. Пусть т=2, п=3. В этом случае r=l, t=2, следовательно, &=2. Получаем у1=х2, уг—\х, г=Х, т. е. обычный зонтик (ср. рис. 19).
Доказательство. В этом случае генотип ф: (R, 0) ->-(R', 0) — пространственная кривая. Обозначим через к порядок ф в нуле. Первый ненулевой член ряда Тейлора ф в нуле имеет вид хке, е 0. Направим ось уг в R' вдоль е. Уравнения ф запишутся в виде ух = хк (1 -f- . . .), г/і = XknCi (і ^ 2). Такой генотип ф F-экви-валентен генотипу ух = хк, уъ = . . . = yt = 0. Надстроим этот генотип. Модуль j-—, порожден столбиками (xA:-1e1, хке2, . . .
• . et). Следовательно, базис пространства T образуют проекции в T столбиков
е'у іу fjc (Sn . п 1Л . • л то
1* u^c1, . . -ь c1, cg, .4^2, • • • , jj . . ., c^, ac . . . ,
Это и приводит к выписанным в теореме формулам надстроенного отображения.
Число столбиков, дополнительных к базисным, (ех, . . ., et), равно t (к—1)—1. Поэтому ранг надстроенного отображения равен t (к—1)—1. Размерность прообраза т на единицу больше ранга. Следовательно, для устойчивости необходимо, чтобы т^ t (к—1). Теорема доказана.
Рассмотрим теперь устойчивые отображения коранга 1 в образе (?=1). В этом случае генотип ф: (R*, 0) -> (R, 0) — функция s=m—п-f-І переменных.
Теорема (Морен [158]). Предположим, что генотип — функция s переменных, коранг второго дифференциала которой в нуле равен 1. Всякий устойчивый росток (Rm, 0) —> (R", 0) с таким генотипом RL-эквивалентен тривиальному расширению ростка следующей комбинации особенностей Уитни и Морса:
у = -SrI1Xk-2 . .. A-Ik^x1 ± х%± xl ± ... ± х1 Z=X (*<» + !).§ lJj КЛАССИФИКАЦИЯ УСТОЙЧИВЫХ РОСТКОВ ПО ГЕНОТШІД.М і 25
Пример. Пусть т =3, п=2. В этом случае s=2, к=2 или 3. Соответствующие нормальные формы имеют вид
у = х\ + х\, Z==I (к = 2) и у = -f-Xx1 ± х\, Z = X (к = 3).
Эти нормальные формы можно рассматривать как задающие перестройки семейств линий уровня функции у (X1, Xi) при изменении лараметра^Х.*Перестройка^для*случая^&=3 изображена на рис. 45.
Доказательство. Легко доказывается Лемма. Генотип в условиях теоремы V-эквивалентен нормальной форме
Доказательство леммы. Выберем координаты в прообразе так, чтобы привести к каноническому виду второй дифференциал генотипа. Получим
Сужение ф на Z1=O имеет невырожденную критическую точку 0. По лемме Mopca (л. 6.2, стр. 92) координаты можно выбрать так, что сужение будет равно ± ¦ • ¦ Функцию $ можно рассматривать как деформацию этой морсовской функции с параметром X1. R-версальная деформация морсовской функции / имеет вид /+X (X — константа)*). Следовательно, генотип Д-эквивалентен функции rfaf + . . . ±a^+<J> (?). Обозначим через к порядок ф в нуле. Функция ф R-эквивалентна +х*, откуда и следует утверждение леммы. ь-г
Надстраивая полученную нормальную форму генотипа,5^получаем приведенные в теореме формулы. і . _ t ,
Замечание. Символы Боардмана найденных в предыдущих трех теоремах ростков имеют вид (1, . . ., 1) для двух первых теорем и (т—»4-1, 1,...,1) для последней. Условие устойчивости в этих случаях совпадает с условием трансверсальности
Рис. 45.
у = х\ + х\ + ... + Xis.
ф— ±х\ ± . . . ± ж2 +0(1 жI3).
*) Это утверждение, называемое «параметрической леммой Морса», нетрудно доказать непосредственно, не пользуясь теоремой версальности, а повторяя доказательство леммы Морса.128
ОСНОВНЫЕ понятия
[ГЛ. I
к соответствующему страту Боардмана (см., например, работы Морена [158]). Поэтому для указанных стратов Боардмана транс-версальные стратам ростки устойчивы. Из формулы произведения корангов (п. 2.1, стр. 23) видно, что для общих отображений (Mm, 0) — (N", 0) с т, ге 3 никакие другие страты Боардмана не встречаются. Поэтому доказанные теоремы дают, в частности, классификацию всех ростков отображений общего положения в размерностях, меньших четырех. При пг=га=4 появляются еще ростки коранга 2 с символом Боардмана (2, 0).
9.7. Устойчивые ростки отображений четырехмерных пространств .
Теорема. Устойчивый росток /: (R4, 0) (R4, 0) эквивалентен либо ростку обобщенной сборки Уитни (быть может, тривиально расширенному), либо одному из следующих двух ростков:
Vx '== х\ І х\і у2 = X1X2 -f- ^1X1 -[- X2X2, Z1 =¦ X1, Z2 =X2.
Доказательство. Случай коранга 0 тривиален, случай коранга 1 разобран в п. 9.6. Если коранг равен 2, то генотип — отображение плоскости на плоскость. Рассмотрим квадратичную часть генотипа. Это — пара квадратичных форм на плоскости.
Лемма 1. В условиях теоремы квадратичная часть генотипа приводится V-эквивалентностью к виду