Особенности дифференцируемых отображений Том 1 - Арнольд В.И.
Скачать (прямая ссылка):
10.3. Обзор результатов по топологической теории особенностей.
1°. Плотность топологически устойчивых отображений. Отношение топологической эквивалентности было предложено Р. Томом в надежде на то, что это отношение эквивалентности в общем случае не допускает непрерывных модулей, и для этого отношения справедлива теорема: топологически устойчивые отображения образуют всюду плотное множество в пространстве всех гладких отображений. (Такая теорема для дифференцируемо устойчивых отображений, вообще говоря, не имеет места1 (см. п. 3.7).)",Эти надежды оправдались; Дж. Мазер, основываясь на идеях Тома, доказал (см. [154], [155]):
Пусть М, N — гладкие многообразия, M компактно', тогда в пространстве всех гладких отображений из M в N, снабженном топологией Уитни, всюду плотное множество составляют топологически устойчивые отображения.
Полное доказательство этой теоремы изложено в [118].
2°. Стратификации о т о б р"а ж~е"н и"я. Доказательство сформулированной теоремы использует развитую Томом теорию'стратифицированных множеств и*стратифицированных отображений, "в частности леммы ' Тома ? об изотопии. Эта теория на f настоящий1^ момент^ является'основным техническим средством тонологической"теории*особенностей. Приведем пример утверждения'из""этой теории.
ГОпределение. Стратификацией Уитни подмножества W многообразия M называется локально конечное разбиение оТ множества W на гладкие непересекающиеся подмногообразия многообразия М, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) (Аксиома границ). Если U и V — страты в ^ и U П V ^=0, то' V CZ U.
2) (Условие Уитни Ъ) (см. [154]). Если U и F — страты в X ^ Vr то V в точке X должно регулярно примыкать к U. І50
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
" [ГЛ. I
Для определения регулярного примыкания предположим сначала, что M — открытое подмножество в R'\ Тогда для любых двух различных точек х, у ? Rm определена секущая ху — одномерное подпространство в R", порожденное вектором х — у. Касательное пространство TMx естественно отождествляется с Rn для любой точки X QM.
Условие регулярного примыкания Fk U в точке х. Если (Xi) и {уі) — последовательности точек соответственно подмногообразий F и U такие, что Xi-* х, yi -* х, Xi !Ji, последовательность XiIZi сходится (в проективном пространстве RP1-1) и последовательность TUyi сходится (в грассмановом многообразии (dim ?/)-плоскостей пространства R"), то I CZ^, где Z = lim xtyv ^r=Iim TUy..
Легко видеть, что если <р — диффеоморфизм открытого множества M на другое открытое подмножество пространства R", то тройка (fU, fV, ух) удовлетворяет условию регулярного примыкания, если этому условию удовлетворяет тройка (U, V, х). Следовательно, условие регулярного примыкания корректно определено для тройки (U, V, х), где U, V — подмногообразия многообразия М, X — точка в V.
Первая лемма Тома об изотопии (см. [154]). Пусть M, N — многообразия, /: M N — гладкое отобра-жвнив. W — закмнутое подмножество в M, снабженное стратификацией Уитни . Предположим, что f\W: W N — собственное и для каждого страта U стратификации отображение / I U: U^-N является субмерсией. Тогда отображение / I W: W -*¦ N — топологическое локально тривиальное расслоение.
3°. Топологическая классификация ростков гладких отображений. Еще в 1962 г. Том построил пример семейства полиномиальных отображений : R3 -> R3, зависящих от параметра s ? R и попарно топологически неэквивалентных. Однако такое явление^крайне нетипично. Сформулируем соответствующее утверждение.
Обозначим через J (п, р)J пространство всех ростков гладких отображений из R" в Rp, а через Jr (п, р) — пространство их r-струй. Пространства Jr имеют естественные координаты (значения производных от координатных функций).
Теорема (см. [35]). Пусть п, р — натуральные числа. Тогда для любого натурального г существует разбиение пространства Jr (п, р) на непересекающиеся полуалгебраические подмножества F0, F1, F2, . . ., обладающие следующими свойствами:
1) Если /х, /2 Є / (п, р) таковы, что /<•">, /<г> ^ Fjl і > 0, то ростки f1, /2 топологически эквивалентны. § 10]
ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
141
2) Произвольный росток / ? / (п, р) такой, что f(r> ? Vi, і О, является симплициалъным отображением для подходящих триангуляций пространств R" и R^.
3) Коразмерность множества F0 в Jr (п, р) стремится к бесконечности при г, стремящемся к бесконечности.
Отметим еще одно замечательное свойство отношения топологической эквивалентности. Разбиения, упомянутые в теореме, можно выбрать такими, что, помимо свойств 1)—3), будут выполняться еще два свойства 4), 5) (см. [36]):
4) Произвольный росток / ? J (п, р) такой, что /(г) ? Vi, і 0, обладает конечномерной топологически версальной деформацией.
Понятие топологически версальной деформации определяется аналогично понятию дифференцируемо версальной деформации. Отметим, что существуют п, р такие, что в пространстве J (п, р) множество конечной коразмерности составляют ростки, не имеющие конечномерных дифференцируемо версальных деформаций.
