Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство теоремы. Идея доказательства состоит в том, чтобы найти п — т. линейно независимых векторов <*m+i>.. .,Qrn Є Mn таких, что каждый из этих векторов одновременно перпендикулярен вектору F и векторам Фі,...,Фт. Отсюда будет следовать, что линейное пространство L, состоящее из всевозможных линейных комбинаций этих векторов, обладает свойством FJ-Lh Ф* J_ L, k= 1,...,т. Ортогональное дополнение пространства IL, т.е. пространство L1, состоящее из всех векторов х Є Ж", ортогональных к L, содержит вектора F и .,Фт. Размерность пространства Lx
равна n—т. Поскольку вектора Фі,..., Фт — линейно независимы, они образуют базис L. Следовательно, вектор F есть линейная комбинация векторов Фі,... ,Фт.
Заметим, что на самом деле L состоит из всех BeKTopoBl лежащих в каждой из касательных плоскостей к поверхностям <р3(х) = 0, s — 1,..., m, в точке X = а.
342- Итак, осталось указать векторы orj,..., <*n_m € Lx. Их мы будем выбирать следующим образом. Без ограничения общности можно считать, что
D(xі,.. .,xm) .
По теореме о системе неявных функций в некоторой є-окрестности точки OG Rn существует т гладких функций фі(г),... ,фт(г), где Z — (xm+i,..., Xn) таких, что
¦ v>* Wi (*)»••., чМ*)'; *) = о,
а также
<рк(ф 1 (*?>), ¦ . .,Фт(*о),*о) = 0, (Фі(*о), . ..,Фт(*о),3 о) = а.
Пусть сг — направляющий вектор оси Oxr, г — m+l,...,n. Рассмотрим функции
Л*,г(0 ~<Рк{Ф і (^o + ter),..., фт{г0 + іег), Z0 + tcr) = 0, где Ar = 1,..., m, а также функцию
Ао,г(0 = /Wi + tar),. ..уфт{ч + <er),z0 + ter).
В точке t = 0 производные всех функций равны нулю: у первой, ..., m-й — потому, что они есть тождественно равные нулю функции, а у функции ho>r (t) — потому, что точка t = 0 должна быть точкой локального экстремума этой функции.
Вычисляя h'kr(t) получим
по теореме о производной сложной функции,
t=0
h, ш g^gjh дщ дфт д<Рк
пк,лчit=o дхг дхг + + дхт дхг + дхг '
у ml _ df d^ . . 9f Wm , 0/
Чг^іе=0 дхт дхг +дГг1
где Ar = 1,..., m; г = rn + 1,..., n; т.е. имеем
AU0U = (**.*r) =0, Ao/WUo - (F1Ofr)=O,
причем
_ (дфі дфт ¦ \
число 1 находится на m + r-м месте.
343- Таким образом, все векторы am+i,...,a„ перпендикулярны каждому из векторов Ё,Фь .. .Фт, при этом, очевидно, векторы Фь .. .Фт в силу невырожденности многообразия Q\ будут линейно независимы. Теорема доказана.
§ 12. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. МАТРИЦА
ЯКОБИ
Покажем, что матрица Якоби отображения f: ШпKm обладает некоторым важным свойством, аналогичным свойству производной функции.
Определение 1. Пусть отображение a : Mn —Mm определено в некоторой окрестности точки х = O. Тогда будем говорить, что а(х) есть о-малое от длины вектора х, и обозначать это так:
а(х) = о(|х|), если Iim Ц^ = 0.
х-* О X
Определение 2. Линейное отображение /(Ax) из Kn в Em называется дифференциалом отображения f(x) в точке х = a, если
Af (х) = I(Ax) + о(|Дх|).
Обозначение: I(Ax) — df(x)\s=a . Если существует дифференциал отображения в точке, то оно называется дифференцируемым в этой точке. Дифференциал отображения можно определить следующим равенством:
Hm ^-»WUo.
Дї-1-o |Дх[
Утверждение 1. Если дифференциал отображения существует, то он определен однозначно.
Доказательство. Пусть Zi(Ax) и І2(Ах) — дифференциалы отображения f(x) в точке х = а. Положим I(Ax) = I^(Ax) —12(Ах).
Из неравенства треугольника имеем
і» •
(/(Ax)I < |Д/(х) - I1 (Ах)| + IAf(x) - I2(Ax)I В силу определения дифференциала отображения отсюда получим
Um і .лл = 0. дг-ю |Дх|
344- Далее, поскольку отображение /(Ax) — линейнр, для любого приращения Ax будем иметь
M = limM = о.
|Ах| t-+o Axj
Таким образом, отображение /(Ax) переводит все линейное пространство в нулевой вектор. Следовательно, отображение /(Ax) — нулевое, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Пусть f(x) ~ дифференцируемое отображение. Тогда имеет место равенство
Af(x) = J1 (a) ¦ Ax + о(|Дх|),
где выражение Jf (a) • Ax понимается как умножение матрицы Якоби Jf(a) на вектор Ах.
Доказательство очевидно.
Приведем еще несколько свойств дифференциала отображения, которые непосредственно выводятся из его определения.
1°. Дифференциал df(x) отображения f(x) существует тогда и только тогда, когда существуют все дифференциалы' dfk(x) функций fk(x), f(x) = (Mx)1... Jm(X).)
2°/ Если отображение у = д(х) дифференцируемо в точке a, a отображение f(y) дифференцируемо в точке b = g(a), и образ некоторой окрестности точки a при отображении д содержится в некоторой окрестности точки Ь, то отображение ^(х) — f(g(x)) дифференцируемо
Jh(X) = Jf(g(x)) -Jg(X).
3°. Отображение / : IR" —> Mm, которое являетря гладким в некотором шаре 0(a,e), a Є К", є > 0, заведомо будет дифференцируемым во всем шаре 0(а,є). ЧАСТЬ III
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
В последнее время в преподавании университетского курса математики наметился отход от излишней абстрактности изложения в сторону его содержательности. До известной степени это перекликается с представлениями математиков прошлого. Прекрасным примером сочетания четкости изложения с конкретностью и идейной ясностью является учебник Ш.Ж. ла Валле-Пуссена "Курс анализа бесконечно малых" (Л.; M., 1933), который во многом служил для нас образцом.
