Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
к-1
оо
вить в виде ряда Y a^ в том смысле, что:
к~п +1
оо
1) его сумма равна гп, когда исходный ряд Yl an сходится;
п~ 1
2) это представление понимается как формальное равенство, когда оба ряда расходятся;
3) другие случаи не имеют места.
Доказательство начнем с п.З. При k > 1 для
1 оо оо
частичных сумм Sk ряда Y a^ и ряда Y ап имеет место
n=fc+l n=l
f
равенство sk = — sn.
Ясно, что при фиксированном п сходимость и расходимость после-
I
довательностей Sk и имеют место одновременно, что и означает
справедливость утверждения п. 3.
В случае 1, т.е. когда оба ряда сходятся, можно перейти к пределу при к —» оо в равенстве sk = Sk+n — sn• Тогда получим
' і • '
s = Iim sk - Iim Sk+n — Sn — s - sn = rn\
k~?OQ к—юо
тем самым утверждение п. 1 доказано.
Относительно утверждения п. 2 следует заметить, что формальное равенство
оо « оо оо
-^Ca*"1" Yl ак ~ Sn + У
к-1 к=1 fc=n+l fc=l
можно рассматривать как определение одной из возможных операций над формальными числовыми' рядами. При введении подобных операций необходимо только требовать, чтобы правые и левые части равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия сходимости хотя бы для одной из частей равенства, что действительно имеет место в нашем случае. Доказательство утверждения 1 закончено.
349 Примеры. 1. Ряд Yl пГп+і) сходится, и его сумма равна 1.
п=1
Действительно, имеем
1 1 1 5л" l-2 + 2-3 + '"+n(n+l) ~
¦-(¦-{МИ)*--
при п —> оо, т.е. s = lim sn = 1.
п-юо
2. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вида
а + ад H-----Ь a?n + ..., при а 0.
В случае q — 1 имеем = па, и ряд расходится. При q ф 1 справедливо равенство
Sn = а + а? + ¦ • ¦ + aqn~l = а(1 + q + • • • + g""1) =
_ а(1 - qn) _ a aqn ~ 1-9 ~ 1 - 9 1 -
Известно, что qn 0 при jgj < 1 и {qn} расходится при > 1. Таким образом, указанный ряд сходится к сумме s = при < 1 и расходится при > 1, а ф 0.
3. Гармонический ряд J^l/n = 1 -f 1/2 H-----l-1/n-f... расходится,
а ряд Yi I/11** — 1 + 1/2а H-----1- + ... сходится при а > 1.
Заметим прежде всего, что расходимость ряда есть расходимость последовательности его частичных сумм, т.е. надо доказать, что
= 1 -i-----h 1 /п расходится. Для этого достаточно показать, что эта
последовательность не ограничена. При n = 2* имеем
, 1 (\ 1\ (\ 1 1 1\ Gfc-1 +1 + 2*) -
^1InI Ck-1 1 ' к к
Отсюда следует, что, каково бы ни было число M > 0, всегда найдется номер n = 2*, такой, что sn > к/2 > М. Для этого достаточно выбрать натуральное число к большим, чем 2М. Другими словами,
350- подпоследовательность не ограничена и потому она расходится, как и сам гармонический ряд.
Для доказательства сходимости ряда Y по теореме Вейерштрас-са достаточно доказать ограниченность его частичных сумм
tn = 1 + 1/2" + -- +Ifna,
поскольку они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо к с условием ті <2к. Тогда справедлива следующая оценка
,1/1 1\/1 1 1 1 \ ...+ Г_!_ + ... + -U <
+ {{2*-1 + 1)" 2 kaJ-
''" + ((2{*-г)а + " ' + 2(*-D«) - , * - 1 1 -. 1
< I + 1 + +2 • + - +2*"1 ¦ < 1 +
2« 22a 2^-1)* - 1- 2а-1'
Таким образом, частичные суммы {?п} ограничены в совокупности, что и означает сходимость искомого ряда.
Установим теперь несколько простейших свойств сходящихся рядов.
Утверждение 2. Отбрасывание любого конечного Числа членов в бесконечной сумме или добавление к ней любого конечного числа новых слагаемых не влияет на сходимость ряда.
Доказательство. Рассмотрим случай отбрасывания слагаемых, так как второй случай разбирается аналогично. Итак, пусть мы отбросили члены ряда an с номерами nj O--Cnjc. Оставшиеся слагаемые перенумеруем в порядке возрастания их прежних номеров. Общий член получившейся таким образом последовательности обозначим через 6П. Тогда при любом т > пк будем иметь
т т — к
«П = ^ Ьп + аПї +----h ап,
п= 1 п = 1
Отсюда следует, что последовательности частичных сумм этих рядов
m т — к
sm = Y <*П И Sjn = Y bn = Sm — аП1-----аПк сходятся и расходятся
Tl-I FJ — 1
одновременно. Утверждение доказано.
351- Утверждение 3. Если Y ап = s и с Є M3 то Yca" = cs-
Утверждение 4. Если ]Г) ап — s И Y^n = t, то Yl(an + bn) = s + t.
Доказательство утверждений 3 и 4 есть прямое следствие определения суммы ряда и арифметических свойств сходящихся последовательностей Sn и tn как частичных сумм рядов и Ybn- Доказательство закончено.
Утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд Yan сходится, то ап —V 0 при п -4 оо. Другими словами, ап есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Имеем an = sn — Sn-I- Отсюда при ті —^ сю получим ап —> s — s = 0, что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Ряд (— 1)" — 1 = 1 — 1 + 1 — 1 + ... расходится,
так как an = (-I)*1"1 не стремится к нулю. Заметим, что Л. Эйлер приписывал этому ряду сумму, равную 1/2. И хотя в рамках наших определений это неверно, существует иной, более общий взгляд на проблему, и он позволяет придать утверждению Эйлера строгий математический смысл. Речь идет о корректной и продуктивной постановке задачи суммирования расходящихся рядов. Например, можно сумму расходящегося ряда рассматривать как значение особого линейного функционала, определенного на последовательности {а„}, и т.п. Однако здесь мы этих вопросов, по существу, касаться не будем.
