Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
но в обоих случаях имеем q = 1. Для исследования сходимости подобных рядов требуются более "тонкие" признаки, которые будут рассмотрены позже.
Несколько более тонкий признак дает следующая теорема.
Теоремаб (признак Коши). Если для членов ряда Y Pn с условием рп > 0, начиная с некоторого номера щ, имеет место неравенство рЦп < q, где число q < 1 и фиксировано, то ряд YPn сходится.
358- Если ж€ для бесконечно многих п имеем pn >1, то этот ряд расходится.
Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай. Последовательно имеем рУ" < q, рп < qn, и так как q < 1, то ряд Y рп сходится по признаку сравнения вместе с рядом Y qn.
Во втором случае для бесконечного количества значений п имеем Pnn >1, рп > 1. Это значит, что Iim рп ф 0 и ряд Y Pn расходится,
~ Tl —> OO
поскольку условие необходимого признака сходимости ряда (рп -? О при п —оо) не выполняется. Теорема б доказана.
ТеоремаТ (признак Коши в предельной форме). Пусть
lim P1Jn = q,
n-юо
где Pn > 0 при всех п.
Тогда при q < 1 ряд JPpn сходится, а при q > 1 — расходится.
Доказательство. Положим сначала qi = и допустим, что q <1. Тогда при некотором Uq > 1 имеем
sup plJn < gi < 1.
n
n>n0
Поэтому по первому случаю признака Коши ряд рп сходится. Если же q > I, то при всех «і > 1 имеем оценку
sup P1Jn > qi
n
П>Пі
Это означает существование бесконечного множества значений п, для которых справедливо неравенство рпп > уі > 1. Следовательно, ряд YlPn расходится по второму случаю признака Коши. Теорема 7 доказана.
Признак Коши, как и признак Даламбера, является довольно грубым. Он, например, тоже не позволяет решить вопрос о сходимости рядов ^ 1/п и 1/п2. Однако он тоньше или, как еще говорят, сильнее признака Даламбера, поскольку можно указать ряд, к которому признак Коши применим, а признак Даламбера нет, но не наоборот. Точнее, можно доказать, что если для ряда YPn выполнены условия признака Даламбера с некоторыми q и по, то для него выполнены и условия признака Коши с тем же значением q и, возможно, иным значением «о- Лекция 22
§ 3. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Рассмотренные ранее признаки сходимости рядов относятся к числу простейших и являются исходными для построения основных признаков сходимости. Например, гораздо более тонким признаком сходимости ряда является признак Раабе, который мы сейчас докажем.
Теоремаї (признак Раабе). 1. Ряд Y Pn сходится, если для всех п, начиная с некоторого значения По, и некоторого о > 1 имеет место неравенство
Pn ~ п
2. Ряд YPn расходится, если, начиная с некоторого п\, выполнено неравенство
Pn - п
Доказательство. 1. Для доказательства воспользуемся теоремой 3 § 2. Рассмотрим вспомогательный ряд вида 1/«^, где ? = а > ? > 1. Этот ряд сходится (см. пример 3 к утверждению 1 §1). Обозначим, его общий член через qn — Ifn13. Тогда при п —оо имеем
Qn \ Tl } П \ Tl2 J
Но так как а > ?, то при достаточно больших и, т.е. при п > пі, где Пі— некоторое число, имеем
«»+' = i_?+0fJ_'\ > i_ ° >Pn+i
Чп П \П* J n Pn
Тем самым для ряда Y Pn выполнены условия теоремы 3 § 2 и поэтому он сходится.
2. При п > 2 положим bn = —у и = 1. Неравенство п.2 при п > 2 можно переписать в виде
Pn +1 > П - 1 _ 1/п _ 6п + 1 Pn ~ п 1/(п - 1) Ьп
Поскольку ряд Y^n расходится (это просто гармонический ряд), по второму утверждению теоремы 3 § 2 ряд YPn тоже расходится. Теорема доказана полностью.
360 Teope м а2 (признак Раабе в предельной форме). Пусть рп > О для всех п и существует предел
lim bn = lim n (1 - ) = I. п-юо п—юо V pn J
Тогда при I > 1 ряд J^pn сходится, а при I < 1 — расходится.
Эта теорема выводится из предыдущей теоремы 1 аналогично тому, как теорема 7 § 2 из теоремы 6 § 2 или теорема 5 § 2 из теоремы 4 §2.
Замечание. Иногда вместо последовательности bn в формулировке теоремы 2 рассматривают последовательность
При этом в обоих случаях имеем соотношение Dn = Pn+l/Pn 1 При п —> оо. А так как имеет место равенство bn = BnDn, то bn ^ Bn при п —> оо. Следовательно, в теореме 2 замена bn на Bn допустима. Из подобных соображений неравенство в условии 1) можно заменить на неравенство Bn > 1 -I- а, а неравенство в условии 2) этой теоремы — неравенством Bn < 1.
Теорема 3 (признак Куммера). Пусть {an} и {сп}— две последовательности положительных чисел.
1. Если существует а > О и номер п о такие, что для всех п > щ имеем
# Лп+1 ^ Cn - Cn^i-> a,
an ~
TO ряд J2 aTl сходится.
2. Если найдется число щ такое, что при всех п > п0 выполнено неравенство
an + l ^n
Cn ~ Cn+ 1- < и
«п
и ряд Yl т~ расходится, то и ряд ]Р an тоже расходится.
Cn *
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 3, обратим внимание на замечательную ее особенность, состоящую в том, что заключение о СХОДИМОСТИ ВЫВОДИТСЯ относительно ОДНОГО ТОЛЬКО ряда Ylani в то время как вторая последовательность {с„} никак не фиксируется, что предоставляет возможности для ее подбора в каждом случае применения признака Куммера к исследованию сходимости конкретного числового ряда.
