Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Пусть задано направление ё = (е\,... ,еп), |ё| = 1, и ki,...,kn — направления векторов осей координат Ох\,... ,Oxn. Тогда, очевидно, если а, есть угол между A9 и ё, то
es = (e,ks) = \ё\ • COSQs = cos а,.
11 Лекции no мнтематичсскймї дішіііу
321В силу этого определения числа ei,...,en называются направляющими косинусами направления ё.
Пусть f(x) — дифференцируемая функция в точке х = а, и ё — некоторое направление. Рассмотрим сложную функцию h(t) = /(а-Иё). Она является функцией от одной переменной t% и в силу теоремы о дифференцируемости сложной функции при t = 0 справедливо равенство
п
dh{t) = h'{0)dt = J2~Hf e>dt-
s = 1 *
Тогда имеем
V(O) = ±jL. , = Egcosa,.
Определение 1. Эта величина h'(0) называется производной функции f(x) по направлению ё в точке a. Обозначение:
д?= df(x) де де
= Л'(0).
#=:2
Определение 2. Вектор
(м. m=V/
называется градиентом функции /(ж) в точке х = a и обозначается так:
V/ = grad /.
Таким образом,
где
\дхг' 'dxnJ
называется оператором "набла".
Отметим некоторые свойства производной по направлению.
1°. Максимальное значение производной функции f(x) по направлению равно длине вектора градиента и достигается при ё = у^у-
2°. Производная по направлению равна нулю, если вектор градиента равен нулю или он ортогонален вектору направления.
3°. Минимальное значение производной функции f(x) по направлению равно — I grad/|, если ё = — j^yj-
322-Отсюда виднр, что скорость возрастания функции в направлении градиента — наибольшая.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Для простоты изложения будем рассматривать функции двух переменных.
Определение 1. Поверхностью P в M3 называется график всякой непрерывной функции z = /(ас, у), заданной b некоторой области Sl С ®2- Другими словами, поверхность P — это множество точек (x,y,z) € IR3, где координата г Є Ж я точка (х,у) Є IR2 связаны соотношением z = /(х,у).
Напомним, что под областью понимают связное открытое множество.
Определение 2. Говорят, что поверхности z = fi(x,y) и z = /2(3:, у) касаются друг друга в точке (а,6,с), если с = f\{a,b) = /2(0,6) и разность
r(x,y) = fi{x,y) -/2(ж,у) является величиной о(\х — а|) при \х — a\ —>• 0.
График линейной функции z = kx -f Iy -I- m, k,l,m Є К является плоскостью в M3.
Теорема. Пусть функция f(x), х Є 0(a, б) С M2 — дифференцируема в точке X = a = (01,02) и го - /(а). Тогда плоскость П, задаваемая линейным уравнением вида
*"- I^rixi - 0l) + -J^Tixi - °2)'
касается поверхности P : z = /(х) в точке х = a.
Доказательство. Рассмотрим плоскость П как график линейной функции д(х), где
д(х) = Z0 + df(x).
Поскольку функция /(х) дифференцируема в точке X = а, имеем
/(х) - д(х) = /(в) + <*/(х) + а(|Ах|) -Z0- df(x) = о(|Дх|).
Следовательно, исходя из определения поверхности, ПиР касаются ДРУГ друга. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобится понятие нормали к поверхности.
Определение 3. Нормалью к поверхности P : z = /(х,у) в точке (-cO, Уо, -о) называется прямая, проходящая через точку (хо,уо,^о)» параллельно вектору (fx, / , — 1).Лєкщія 23
§ 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пусть f(x) имеет в некоторой ^-окрестности 0(a, е) все первые частные производные , s — 1,...,п. Эти частные производные
сами являются функциями от п переменных и могут иметь частные производные, т.е. можно определить следующие величины
д (Ы\_ d2f _ /у V -1
дхг KdxJ - дхгдх, V*>)Xr' ^r-1.
Эти величины называются частными производными второго порядка. Если s ф г, то они называются смешанными производными.
Имеют место следующие теоремы о равенстве смешанных производных второго порядка.
Теоремаї (теорема Шварца). Пусть функция /(ж) в некоторой
окрестности точки X. = a имеет смешанные частные производные
d7f d2f
второго порядка и qx Jfx , причем они непрерывны в точке
X = a. Тогда в точке х = a эти производные равны между собой. т.е.
и It
fx2xAa) = ZriT2 (")•
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что п — 2 и /(ж) = /(жі,ж2). Положим
A2 f = /(ai + hi, a2 + h2) - /((її + hi, a2) - f(aі, a2 + h2) + f(ax, o2),
V?(x) = /(ж, a2 + h2) - /(ж, o2).
Применяя дважды формулу Лагранжа конечных приращений, получим
<р(ах + hi) - tp(ai) = hitp'(ai+0ihi) = = hi (f'Xl{ai + 9ihua2 + h2) - f'Xi{ax + exhua2)j =
= hrh2fXlZ2(ai + MilO2 + M2)-
В силу непрерывности функции /Xll3OcI1X2) в точке X = а имеем <р(аі + Лі) - V>(ai) - ЛіЛ2(/г1вз(аі, а2) + о(1)).
324С другой стороны,
<p(ai + hi) - <p(ai) = ф(а2 + h2) - ф{а2),
где ф(х) = f{ai + Лі, ас.) - /(аьа?).
Вновь применяя теорему Лагранжа, находим
ф{а2 +Ti2) - ф{а2) = h2{f'X7 (ai + hi, a2 + в'2) ~ Д , a2 + 9'2)) =
= hih2f'^Xi{ai + 9[hi, a2 + 6'2h2) = /їїMZxUi (ab «2) + <>( 1)). Отсюда
hih2(fzlX2{aua2) + o(l)) = hih2(f'^Xl (ab a2) + o(l)), т.е. получаем справедливость равенства
Zr1X2 («b«^) = Zx2ll (a i,a2).
Теорема 1 доказана.
Теорема2 (теорема Юнга). Пусть функции fXl{x i,x2) и fx {хі, х2) определены в некоторой окрестности точки X = а = [ai,а2) и дифференцируемы в точке а. Тогда