Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
сю
2. Ряд Y s*nn расходится. Чтобы доказать это утверждение,
п=1
достаточно установить, что равенство lim sinn = О не имеет места.
п—Юо
Действительно, пусть sin ПН-О при п —> оо. Тогда, так как
sin п = sin ((п — 1) + 1) = sin (п — 1) COS 1 + sin 1 cos (n — 1),
sin 1 ф 0, cos 1 ф О, то, переходя к пределу в предыдущем равенстве, получим
О = lim sin n = cos 1 • lim sin (n — 1) + sin 1 • lim cos (n — 1) =
n—Voc Tl-+OO n-wo
= O + sin 1 • lim cos (n — 1).
«->oo
Отсюда имеем lim cos (n — 1) = 0. Но тогда при n —> oo
n—+OO
1 = (sin n)2 + (cos n)2 —>0 + 0 = 0,
352- что невозможно. Следовательно, ряд ?>inn расходится, что и требовалось доказать.
Рассмотренные примеры показывают, что даже простейшие признаки сходимости ряда оказываются полезными при исследований рядов на сходимость. С другой стороны, наличие общего критерия Коши для сходимости последовательности позволяет установить соответствующий критерий и для числового ряда.
Теоремаї (критерий Коши). Для сходимости ряда. X^= і ап необходимо и достаточно, чтобы для любого є > О существовал номер по = по (є) такой, что при всяком натуральном р и всех п > По(е) имело место неравенство
'п+р
Sn \ =
п+р
E
m=n-f 1
а
m
< Є.
Доказательство. Утверждение теоремы равносильно критерию Коши для сходимости последовательности sn частичных сумм ряда, что согласно определению и есть сходимость его самого. Тем самым теорема 1 доказана.
Теорему 1 можно переформулировать таким образом, чтобы иметь критерий расходимости ряда ?)ап в прямой форме.
Теорема2 (критерий Коши для расходимости ряда). Для расходимости ряда ^ ап необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно є > 0 с условием, что для любого Uq > 1 найдутся натуральные п > по и р, для которых справедливо неравенство
п+р
E «
m=n+l
m
> Є.
п+р
Определение 5. Всякое выражение вида sn+p — sn = ? am
m—n + l
называется отрезком ряда ^ ап-
OO
Примеры. 1. Ряд ^^Г" СХОДИТСЯ.
П = 1
Для доказательства воспользуемся теоремой 1. Имеем
<
(п + 1)'
Sn I —
+ ...+
COS (п + 1)
(п+1)2
<
(п + р)2 - п(п+ 1)
+ ••• +
+
COS (п + р)
(п + р)2
• +
< 1
(п + р - 1)(п + р)
12 Лекції» гю математическому анализу
353 _ п__\\ + + / 1__1_\ = }___1_ < \
~~ Vn Л+1/ \n+p-l п + р/ п п + р п
Требуемое неравенство |sn+p—sn| < є будет выполнено, если, например, 1/п < є, т.е. п > 1 (е. Положим по(е) = [ї/є] + 1. Тогда по(е) > І/є и для любого натурального р и любого п > по(е) выполняются неравенства
1/п < 1/п0(е) < Є, |Sn+p-Sni<?,
следовательно, по теореме 1 ряд сходится.
2. Гармонический ряд 1+1/2+1/3+... расходится. Применим теорему 2. При всех п и р = п имеем
1 11 11
Таким образом, условия теоремы 2 будут выполнены, если положить є = 1/2 и при любом по > 1 в качестве пир взять числа п = р = по. Тем самым расходимость ряда установлена.
3. Ряд
^ 1 1 1
> -=--1-----1---Ь ...
ті In п 2 In 2 п In п
п = 2
расходится. Действительно, при любом натуральном к имеем
2*+1 ь
E -J-> 1
Z-у
n—2fc+i nlnn ~ -н 1)1п2 2(*+ 1)1п2'
Следовательно, при & > 1 получим
1 1 к _ 1 S22fc ~S2fc ~ 2(*+1)1п2 + 4Ш2 > 4Ш2 " 4In2
Положим ?= 1/(4 In 2). Тогда, если в качестве п и п + р взять числа п = 2к и п + р = 22*, то при любом к > 1 выполняются условия теоремы 2, и, значит, данный ряд расходится.
Обратим еще раз внимание на тесную связь между теорией сходимости рядов и последовательностей. Мы установили, что всякий ряд порождает последовательность частичных сумм, которая определяет его сходимость. Имеет место и обратный результат, а именно: всякую последовательность можно рассматривать как последовательность частичных сумм некоторого ряда. Действительно, если {&„} — некоторая последовательность, то с ней можно связать ряд ^an, полагая ai = &i и an+i = bn+\ — bn при n > 1. Лекция 2
§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Определение 1. Ряд Yan называется рядом с неотрицательными членами, если при всех п имеем an > 0.
Ряды с неотрицательными членами — это простейший тип числовых рядов. Их свойства используют при изучении рядов общего вида, и поэтому изложение теории рядов обычно начинают именно с рядов с неотрицательными членами. Для общего члена такого ряда будем преимущественно "использовать обозначение рп (вместо an). В основном нас будут интересовать вопросы сходимости этих рядов.
Теоремаї. Для сходимости ряда Y Pn^ где Pn > 0 при всех п, необходима и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм.
Доказательство. Пусть Sn — п- я частичная сумма ряда Y Pn- Поскольку рп > 0, имеем, что последовательность {$„} не убывает. Теперь требуемый результат вытекает из критерия Вейерштрасса для сходимости монотонной последовательности. Доказательство закончено.
Пример. Пусть bn —> +оо и {6П} не убывает и положительна.
Тогда ряд Yft n+i — ^n) расходится, а ряд Y, ^^ ~ FITfT) сходится.
Действительно, для частичных сумм Sn и Jn этих рядов имеем
