Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Zr1xЛаЬ «2) = Zr2x1 (аЬа2)-
Доказател ъ с т є о. Рассмотрим функции
А2/ = Z(ai H- А, аз H- Л) — /(ai + Л, a2) - Z(«i, «2 H- Л) + /(ai, а2),
у?(х) = /(я?, а2 H- /і) - /(ж, а2).
Имеем
А2/ = v?(«i H- h) - <p{ai). Из теоремы Лагранжа следует, что
А2/ = h<p'(aі + ffiA) = A {f'Xl (ai + М, a2 H- Л) - Zi1 K+ Hi a2)) .
В силу того что функция fXl(xі, X2) дифференцируема в точке X = a, Zr1 (ai H- Oih1 a2 + Л) — Zx1 (ai) a2) = ?1 AZ^x1 («) + '^Zr1X2(a) + о(Л), f'xi(ai+eih,a2) - Z;>i,a2) = Wiafl(S) + o(h).
Следовательно, С другой стороны,
Л2/ =: V(a2 H- А) - V(«2), где ф(у) — f(ai + h,y) — /(ai, у). Аналогично предыдущему получим
A2J = A2Z^jli(S) + о(Л2).
Таким образом,
Zx1x3(aba2) = Zr2Xl (аь аг)-
Теорема 2 доказана.
325- Следствие. Теоремы Юнга и Шварца имеют место при п > 2.
Доказательство. Надо зафиксировать все переменные, кроме XryXst и применить доказанные теоремы к получившимся функциям.
Определение. Функция f(x) называется дважды дифференцируемой в точке, если все первые производные дифференцируемы. Вообще, функция f(x) называется п раз дифференцируема, если все частные производные (ті — 1)-го порядка являются дифференци-руемыми функциями.
ТеоремаЗ (достаточное условие дифференцируемости). Для того чтобы функция f(x) была п раз дифференцируема в точке, достаточно, чтобы все частные производные порядка п были непрерывны в этой точке.
Доказательство проводится по индукции.
Следствие (из теоремы Юнга). Если функция f(x) является п раз дифференцируемой, то смешанные частные производные до порядка п не зависят от порядка, в котором производится дифференціфование.
Доказательство получается индукцией из теоремы Юнга.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА
ТЕЙЛОРА
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х = о. Зафиксируем приращение dx = h. Тогда получим новую функцию g(x) = g(x,h), определяемую выражением
Это дифференцируемая функция в точке X = а, и ее дифференциал равен
г=1 ОХг
г=15=1 4 3 ' X=a
326- Положим теперь ha = Ax3 = dx3. Тогда получим
а2т
r = l S = I
Это выражение называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке X = а. Аналогично определяется дифференциал dkf(x) порядка к :
*/(«)=? • •І SfiiI dx" -dx^
Очевидно, это выражение можно символически записать так:
dk№= №).
где для получения развернутого выражения надо формально возвести выражение в скобках в степень как многочлен, 'считая символы dxs, как бы независимыми переменными, а затем к числителю
выражения эх'"Vic" спРава приписать /(а).
Отметим, что drf(x) при г > 2, вообще говоря, не обладает свойством инвариантности, т.е. если, скажем, вместо dxa в выражение для d2f(x) подставить первые дифференциалы dips(t) функций Xs = то получится выражение, которое уже не будет вторым
дифференциалом.
Действительно, если h(t) = /(<?>(<)), то
, = Ir=I ОХ*ОХг 5=1 ОХ'
Здесь мы воспользовались тем, что
= чШ + ^rfv
Но если <ps(t) — линейные функции, т.е.
<Ps(t) = А0>, + Aii,<1-I-----h A„(Jt„,
то d2(fif = 0 и инвариантность второго дифференциала все же имеет место. Аналогичное утверждение справедливо и для третьего дифференциала и т.д.
В силу этого, например, если х = а + te и g(t) = f(a -j-te), то
drf{a + «e)|t=0 = <Tg(i)\tss0 = g^mdty,
т.е. функция g(t) является г раз дифференцируемой.
Воспользуемся последним замечанием для вывода формулы Тейлора для функции от п переменных.
327- T е о р е м И (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Пусть функция f(x) дифференцируема к раз в точке х = а. Тогда при X1 стремящемся к а, справедлива следующая формула
f(x) = P(x) + r{x),
где
Р(х) = Да) + rf/(a)U=i.a + і rf2/(a)LJ=I_a + ...
Доказательство. Применим метод математической индукции по параметру к. При к = 1 утверждение теоремы следует из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что к > 1.
Из условия теоремы вытекает, что функция г(х) в некоторой окрестности U точки x = a имеет все производные до порядка (fe —1) включительно. Кроме того, в -точке a сама функция и все ее частные производные до к-го порядка включительно равны нулю.
Далее, пусть х Є U и Ax = х — а. Тогда имеем
r(x) = r(x) — r(a) = r(a + Ах) — r(a) = D\ + • • • + Dn, где при S= 1,. .., п величины Ds определены равенствами Ds = г(сц '+ Ax1,..., as + Ax3, a,+i, -. .,an)-
-r(ai + Axi,..., a,_i + Ax,_b as,..., an) = g(as + Axa ) - g{as).
Отсюда, применяя формулу Лагранжа к каждой величине Ds, при некоторых ?s с условием О < < 1 получим
Ds =gfXt(as +$,sAxs)Axs = r'X!(a + vs)Axs> где vs = (Axi,..., Ax5_i,?aAxj, Oje..., 0). Следовательно,
r(x) = I-Jfl (a + іїі)Axi + ¦¦'• + r'Xn{a + un)Axn.
#
Заметим, что точка a -f vs Є U для каждого s = 1,..., п. Поэтому к частным производным в правой части последнего равенства можно применить предположение индукции с заменой значения параметра к на к — 1. Тогда при всех s от 1 до п будем иметь
+ = Ife-1).
Отсюда следует, что г(х) = о(\х — a|fc). Теорема 1 доказана.
