Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
OO
также степенной ряд у = у(х) = Yl апХП является решением этого
п=0
334- уравнения, т.е. у = у(х) — алгебраическая функция. Пусть, далее, коэффициенты ait, к > О, — рациональные числа. Тогда существует такое целое число I, что при замене х на Ix коэффициенты степенного ряда, получившегося из ряда у = у(х), будут целыми числами, за исключениемj быть может, ао-
Доказательство. В силу теоремы о неявной функции существует единственная функция уо = удовлетворя-
ющая уравнению F(x,y) = Ob некоторой окрестности точки (0,0). Следовательно, эта функция совпадает со степенным рядом у = у(х).
Запишем многочлен F(x,y) в виде
F(x, у) = P0 + Piy + .. - + Ртут,
где P0 = Pq{x), ..., Pm = Рт(х) — многочлены от переменной х. Так как F(O1O) = 0, то P0(O) = 0. Из условия F^(O1O) ф 0 получим: P1(O) ф 0 Представим многочлены Po = Ро(х),...,Рт = Pm(я) в следующей форме:
P0 = 9qx + h0x2 + ...,
Pi = + h\x + ..., g1 ф 0,
Pm = 9т + hmx + . . . . Положим теперь
г x = git,
I y = giu,
где t и и — новые переменные.
Сократим равенство на Получим
Got + Hot2 + - ¦ ¦ + (1 + Gi/ + #if2 + ...)« + (Gm + Hmt + ... )um = 0,
где Go, Но,.. ¦, Gj-, H1,..., Gm, Hm,... — целые числа. Из последнего уравнения имеем
G0t + Hot2 + ... G m + Hmt -(-... m
u ~ ~ X+ Git+ Hit2+... l + G1t + H1t2 + ..U "
Далее при \z\ < 1 воспользуемся равенством
—j— = 1 ~z +z2----+ (-1 )nzn + ... .
i + z
Тогда предыдущее выражение для величины и принимает вид: и = (A:t + A2t2 + ...) +(B0 +Bit+ ...)и2 + ... .
335- Будем искать функцию и — Ці) в следующей форме:
Xl — 7Tt\ t -f- Ш2<2 + Tflztz + . . . .
Коэффициенты mi, ліг, тз,.... тогда определяются из равенств
mi = Лі, VTL2 = A2jT В0т1,
Л
тз = A3 + 250mim2 + Biml,-
Отсюда следует, что числа ту, т2, тз, ... — целые. Теорема 2 доказана.
В частности, из последней теоремы следует, что функции
00 к 00 к ^ = Ef- in(i+Xj = B-D*-11-
к=0 " к-1 '
не являются алгебраическими. Лекция 22
§ 10. СИСТЕМА НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим отображение
Пусть все функции f\(x),.... fm(x) являются гладкими в є-окрестнрсти 0(a,e) точки a. Тогда такое отображение называется гладким.
Определение 1. Пусть функции fi(x),..., fm(x) дифференцируемы в точке X Є Mn. Тогда матрица
J = Jf =
имеющая m строк и п столбцов, называется матрицей Якоби отображения f(x) = (fi(x),. . .,fm(x)).
Строки матрицы Якоби представляют собой градиенты функций fk(x), k = 1,...,тп.
Пусть m < п, Рассмотрим какие-либо m различных столбцов матрицы J. Они образуют подматрицу J(k\,. . . ,km) порядка mxm матрицы J1 где ki,...,km — номера выбранных столбцов.
Определение 2. Определитель H матрицы J(k\,.. ., Arm) называется якобианом (одним из якобианов) отображения f(x) и обозначается так;
н= Р(/ь...,/ш) D(xkli...,xkm)'
Определение 3. Дифференцируемое отображение f(x) называется невырожденным в точке X = a, если один из якобианов этого отображения отличен от нуля.
Это означает, что:
1) матрица J имеет максимальный ранг или
2) градиенты функций fi(x),..., fm(x) — линейно независимы в этой точке.
Теорема (теорема о системе неявных функций). Пусть n = т-\- р, р > 0, и пусть:
1) отображение f : IRn —» Mm — невырожденное в точке (a,b), где a = (а і,..., dp) и b = (bi,..., 6m), и гладкое в некоторой окрестности Q = 0((a,b),e) точки (х,у) = (а,6);
dfk{x)
дх.
k = \ ,... ,m\ s = 1,..., п:
337 2) /(5,6) = 0;
*) т = fcfc} *
Тогда в некоторой окрестности 0(a, = QiC Kp точки а существует единственное гладкое отображение <р(х) = (<pi (ж),..., (рт(х)), где X = (хі,... ,хр), обладающее следующими свойствами:
1) /(e,p(a)) = 0;
2) для всех X Є Qi имеем f(x,<p(x)) = 0;
3) Mx) =z -A-1B, где A = Jf{y), В = Jj{x).
Здесь А и В — две части матрицы Якоби Jj, отвечающие переменным уі,... ,ym и Xir.. .,Xp соответственно.
Другими словами, эта теорема утверждает, что система уравнений
fk(xi,.. .,хр,уі,.. .,ym) = 0, Ar = 1,.. .,m,
разрешима относительно переменных УГ,-,Ут как функций от переменных (^i,..., Xp) таким образом, что функции yi = <рi{x),..., ут = iPmiz) удовлетворяют тождествам
Uix, <р(ж)) e=OVx є Qi,
где Qi — некоторая окрестность точки a, причем:
а) fia,ip(a)) = 0;
б) fix, у) является невырожденным гладким отображением в некоторой окрестности точки (а, 6) с условием
Djfu--Jm) ф Q
Diyi,. .,Ут)
Замечания. 1. Матричное равенство п. 3 дает выражение для всех частных производных вида
> k = l,...,m, s=\,...,p.
2. Если fix) — линейное отображение, то утверждение теоремы есть простой факт из линейной алгебры о решениях, системы линейных уравнений.
Доказательств, о. Рассмотрим определитель Якоби Я (у) матрицы А. Разложим его по последнему столбцу. Получим:
Д(Й = Я1Ж+Я ад+...+Я| ад
m
m'
dym дут дут '
Так как Н(у) не обращается в нуль в точке (а, 6), то по Крайней мере один Из миноров матрицы А не равен нулю. Без ограничения общности можно считать, что Hi ф 0.
338- Будем проводить доказательство методом математической.индукции по числу уравнений т. При т = 1 утверждение теоремы доказано в предыдущем параграфе. Предположим, что теорема верна для т — 1 уравнения. Докажем ее для т уравнений.
