Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
361- Доказательство теоремы 3. Без ограничения общности будем считать, что no = 1, так как ясно, что члены с номерами п < По можно просто отбросить. В случае 1 имеем
Cndn - cn+ian+i > a<*n-Суммируя это неравенство по п при всех п = получим*
ciai - cm+iom+i > ar(ai +----h am),
откуда
Ciai - cm+iam+i Ciai
Sm = ai +----Yam <- < -.
~~ a a
Это означает, что все частичные суммы Sm ряда J^an ограничены в совокупности и по теореме 1 § 2 этот ряд сходится. Неравенство п. 2 можно переписать в виде
дп+1 > 1/сп+1
*п
Ifcn
Но так как по условию ряд ? 1/сп расходится, то по теореме 3 расходится и ряд J^afl. Теорема доказана полностью. Рассмотрим некоторые следствия из теоремы 3.
Следствие 1. Положим сп — 1 для всех п. Условие сходимости ряда ап тогда запишется в виде:
, an+i an+i
1--— > а или —™ < 1 — a.
<*n an
Для расходимости в этом случае имеем
c^+1 і v. л an+i v. і
—— — 1 > О яли —— > 1.
an an
Таким образом мы получаем новое доказательство признака Далам-бера.
Следствие 2. Положим cn = п — 1. Тогда сходимость ряда an имеет место при выполнении условия
, an+i an+i а +1
п — 1 — п-> а, т.е. —— < 1--.
an an п
Расходимость ряда ]Г)ап наступает яри условии
. a„+i an+i . t І
с„ = n — 1, n—---(n - 1) > 0, т.е. —— > 1--.
an an n
Другими словами, мы получаем признак Раабе.
362- СледствиеЗ (признак Бертрана).
1. Ряд Yап >0 сходится, если существует си > 0 я номер U0 такие, что при всех п > по выполнены неравенства
°n+i < j _ ? _ 1 + «
»n
n nlnn
2. ДаяяыЯ ряд расходится, если при всех достаточно больших п имеет место неравенство
<*П + 1 у у _}_ _ 1
an — n n In П
Доказательство. 1. В качестве сп в признаке Куммера положим сп — (n — 1) In (л — 1). Тогда условие сходимости в нем запишется так:
(п — 1) In (п — 1) — n In п———— > а,
т.е.
Qn+1 < 1 1 1 (п- 1)1п(1 - 1/п) а а„ ~ п п In п п In п
Далее, поскольку
(n - 1) In(1 - 1/п) = 1п(1 - 1 /п)п~1 > -1, неравенство (*) вытекает из следующего неравенства:
Дп+1 < 1 1 1 + а < 1 1 (п — 1) In (1 — 1/п) а
а
п
п п In п п п In п п In п'
т.е. выполнение условия сходимости в признаке Бертрана обеспечивает справедливость условия сходимости в признаке Куммера.
Таким образом, признак Бертрана для сходимости ряда доказан. 2. Положим в признаке Куммера cn = (n — 2)ln(n— 1). Тогда расходимость ряда Ylan будет иметь место, если выполнено неравенство
(n — 1) In п——— — (n — 2) In (n — 1) > 0. а„
Достаточно показать, что оно является следствием условия расходимости в признаке Бертрана вида
Дп+i > х _ 1 _ 1
п п In п '
363- т.е. доказать при всех п, больших некоторого По, следующее неравенство:
> і _ I _ _J— > п ~ 2 ln(n_1)
ап п
n In n — тг — 1 Inn
Оно, в свою очередь, вытекает из следующей цепочки неравенств (п > 3) :
ln(l-l/n)<-l/n,
* і )Л')>
п nlnn \ п — 1 J \ n In Tl J > / __J__W1+ln(i-l/n)\ _ п-2 In (w - 1)
- l/n)\ _ п — 2
п J п — 1
п — IJ \ Inп J п— 1 Inn
Таким образом, признак Бертрана полностью доказан.
Простым следствием признаков Даламбера, Раабе и Бертрана является признак Гаусса.
Теорема4 (признак Гаусса). Если ап > 0 для всех натуральных п, є > 0 — некоторая постоянная и
on+l Tl
то:
1) ряд ]Г] ап сходится при А > 1 и расходится при А < 1;
2) если А = 1, то ряд сходится при ц > 1 и расходится при р. < 1.
Доказательство. 1) Имеем Dn = o,n+i/an —у 1/А при п. —^ оо, поэтому по теореме 5 §2 ряд а„ сходится при А > 1 и расходится при А < 1, что и утверждалось в п. 1).
2) Если A=I и ц ф 1, то Bn = n(an/an+1 — 1) —у /і Поэтому согласно замечанию к теореме 2 ряд сходится при р. > 1 и расходится при [і < 1. Если же А = /х = 1, то при некотором ?о > О и.п —> оо имеет место предельное соотношение
= !+O(TT1-cO). an п
Но поскольку Inn = о(пе°), при всех достаточно больших п выполнено неравенство
«п+1 _ 1 1 , ^-l-сол ^i1 1
= 1 - - +0(n~Wo) >1---
an n n nlnn
Таким образом, при А = /л — 1 ряд ^an расходится по признаку Бертрана. Теорема 4 доказана полностью.
364- Комбинируя полученные выше результаты и снова привлекая, по существу, те же соображения, что и выше, можно получать все более и более тонкие и сложные признаки сходимости. Однако на практике реально используется один гораздо более простой и более сильный признак сходимости рядов, а именно, интегральный признак Коши -Маклорена, к доказательству которого мы переходим.
Теорема5 (интегральный признак Коши - Маклорена). Пусть функция f(x) определена на промежутке [1,-foo) я f(x) убывает на нем. Тогда:
1) если 0 < pn, < f(n) при всех п > по я несобственный интеграл
00
J f(x)dx сходится, то ряд YllPn тоже сходится;
1
2) если Pn > f(n) > О при всех п > по и несобственный интеграл
00
f f(x)dx расходится, то расходится и ряд Yl Pn-
1
Доказательство. Как и выше, без ограничения общности будем считать, что п0 = 1. Далее, поскольку f(x) монотонно убывает, при всяком натуральном к и к < х < к + 1 имеем
