Лекции по математическому анализу - Архипов Г.И.
ISBN 5-06-003596-4
Скачать (прямая ссылка):
Эта часть книги охватывает материал, излагаемый в третьем семестре, в рамках курса математического анализа на механико-математическом факультете МГУ Как мы отмечали в предисловии к первой части, замысел этого учебника предполагает соединение краткости изложения, свойственной конспекту лекций, с доступностью и полнотой учебника. С другой стороны, наша концепция курса включает в себя выделение роли понятия предельного перехода во всевозможных его проявлениях как фундаментальный принцип изложения предмета. Следует также отметить, что материал третьего семестра несет в себе наиболее существенные элементы всего курса математического анализа, связанные с одновременным рассмотрением и перестановкой порядка выполнения нескольких предельных переходов в сочетании с понятием двойного предела.
Здесь мы рассматриваем такие приложения общей теории, как бесконечные произведения и бесконечные определители, основы теории эйлеровских интегралов, задача Кеплера о движении двух тел и функции Бесселя, формула Лагранжа для обратной функции, обобщающая формулу Тейлора, формула суммирования Пуассона и вычисление точного значения суммы Гаусса. Другое приложение теории — это изложение асимптотических методов Лапласа и стационарной фазы, являющихся, как известно, вещественной интерпреткцией метода перевала в теории функций комплексного переменного. Обратим внимание читателя на то обстоятельство, что лекции, в которых излагается материал приложений, как правило, превосходят по объему отдельные лекции, содержащие теоретические основы курса. Заметим еще, что выбор приложений обусловлен нашим стремлением привить студентам определенный математический вкус и любовь к предмету.
346- Глава XV ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лекция 1
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. КРИТЕРИЙ
коши
Эта часть курса математического анализа охватывает три большие темы, а именно:
1) числовые и функциональные ряды;
2) интегралы, зависящие от параметра;
3) ряды и интегралы Фурье.
Заметим, что третья тема при формальном подходе должна быть отнесена к двум первым, однако ввиду особой важности и специфических особенностей ее традиционно выделяют в самостоятельный раздел. Изложение материала начинается с числовых рядов.
Понятие числового ряда вскользь рассматривалось еще в первом семестре при изложении темы о числовых последовательностях. Теперь остановимся на этом вопросе более детально.
Напомним основные определения.
Определение 1. Пусть {«„} — произвольная числовая последовательность. Числовым рядом или просто рядом называется формальная бесконечная сумма S вида
S = ai + а2 -I- аз + • ¦ • •
Обычно используется следующая сокращенная запись:
OO П —1
ИЛИ просто Yl an •
Здесь натуральный параметр ті в знаке суммы определяет номер члена последовательности. При фиксированном п соответствующий ее член an называется n-м членом ряда. В то же время символ an, рассматриваемый как функция своего номера, называется общим Членом ряда. Вместо буквы п можно, разумеется, использовать любую другую букву, обозначающую переменную, принимающую натуральные значения.
347- Рассмотрим теперь новую последовательность sn, задаваемую равенством
tl
Sn =ai +----к ап — У^ ак •
к=1
Определение 2. Последовательность Sn называется последовательностью частичных (или частных) сумм ряда ^an, а ее п-й член называется п-й частичной суммой этого ряда.
Определение 3. Если последовательность Sn частичных сумм ряда У2 an сходится к числу s, т.е. если lim sn = s, то ряд У] an называется
щ. rijf+oo
сходящимся (к s), а число s — его суммой. В этом случае пишут:
OO
У^- У^~s-
П-1
Если же последовательность {sn} не имеет предела, то говорят, что ряд Y ап расходится.
В основном нас будут интересовать сходящиеся ряды.
Определение 4. Если ряд Y
an сходится к числу s, то последовательность гп 5= s — Sn называется остаточным членом или остатком ряда.
Заметим, что так как Sn s при п —у оо, то rn —> s — s = О при л —> .оо.
Несколько модифицируем введенные определения и обозначения. Если в числовой последовательности а„ отбросить несколько начальных членов, например; в количестве m > О, то оставшиеся члены am+i, am+2,... в совокупности можно снова рассматривать как некую новую последовательность Ьп, задаваемую равенством Ьп = am+n.
OO
Рассматривая bn как общий член ряда Y ^n> для его частичных
п~1
і
сумм Sn получим равенство
і
Sn = Ьі +----I-^n- am+i H-----h am+n =
n m+n
— dm+k — ^ dk = SrrlJrn -Sn.
к-1 fc=m+l
оо
Кроме того, ряд Y2 bn как формальную бесконечную сумму можно
п-1 , - ¦¦
записать в виде
OO OO
^bn = Ьг + Ь2----= am+i + am+2 4- • • ¦ =
348- OO
Таким образом, бесконечную сумму Y ап тоже можно рассма-
n=rn+l
тривать как ряд.
OO
Далее будем рассматривать также формальные ряды вида Y ans,
s-i
где Ti3 — какая-либо последовательность натуральных чисел, и исследовать их на сходимость.
ОС
Утверждение 1. Остаточный член гп ряда Y ак можно предста-
