Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
п= і, 3, 5, ...
во
2 (~1)<П 1)/2 п 3~1 ----32'
n==l, 3, 5, ...
д. Используя фурье-разложение прямоугольной функции показать, что
2 (-^-'^-!=1-14-1+...=^-.
я*» 1, 3, 5 і ...
14.3. СВОЙСТВА РЯДОВ ФУРЬЕ
Сходимость. Во-первых, отметим, что нельзя заранее ожидать равномерной сходимости ряда Фурье, если этим рядом представлена разрывная функция. Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций (sinn*, cos nx) всегда непрерывен (см. разд. 5.5). Однако если f (*) непрерывна на отрезке —я < X < я, причем f (—я) = / (+я) и, кроме того, производная f (х) кусочно-непрерывна, то ряд Фурье для функции f (аг) сходится равномерно. Эти условия не требуют, чтобы f (х) была периодической функцией, 572
»
глава 14. ряды фурье
но они автоматически выполнены для непрерывных дифференцируемых периодических (с периодом 2л) функций *. Интегрируемость. Почленное интёгрирование ряда
OO OO
OO
I W =
дает
/(х)=^+ ^anCosnx+^bnSmnx (14.44)
П— 1 Tl= і
л
J
CO OO
Ьп
SCO W=O TI= і
XQ
(14.45)
В результате интегрирования в знаменателе каждого коэффициента появляется дополнительный множитесь п, который улучшает сходимость полученного ряда по сравнению с исходным. Следовательно, сходящийся ряд Фурье всегда можно интегрировать почленно, возникший в результате такого интегрирования ряд равномерно сходится к интегралу от первоначальной функции. Более того, почленно интегрировать можно даже в том случае, когда исходный ряд (14.44) сам по себе не является сходящимся! Обсуждение этого свойства можно найти в специальной литературе, посвященной рядам Фурье.
Строго говоря, разложение (14.45) может и не быть рядом Фурье, т. е. в случае а0 Ф О ряд все же будет содержать член а0х12. Однако разность
X
jf(x)dx—^a0X (14.46)
будет рядом Фурье.
Дифференцируемость. В вопросе дифференцируемости рядов Фурье картина совершенно иная. Здесь уместно сразу же высказать некоторые предостережения. Рассмотрим ряд для функции
f(x) = x, —л<х<л. (14.47)'
* Доказательство равномерной сходимости см., например, в книгах Churchill R. V. Fourier Series and Boundary Value Problems. N.Y., McGraw-Hill, 1941. (Ф и x т e н г о л ь ц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. М.-Л., Гос-техтеориздат, 1949.—Прим. перев.) 14.3. свойства рядов фурье
573
Этой функции соответствует ряд Фурье
OO
Х = 2 55 (- , -п<х<п. (14.48)
tx
71=1
Дифференцируя почленно, получаем ряд
OO
1 = 2 2 (— l)ncos nx, (14.49)
n= 1
который не будет сходиться.
В случае волны треугольной формы (см. рис. 14.3), для которой ряд Фурье сходится быстрее (и равномерно),
OO
М-Т-4 2 =г- (14.50)
71=1, 3, . . .
После почленного дифференцирования этого ряда возникает новый ряд Фурье
OO
TW = IS iiiF. (14.51)
71=1,3,...
который представляет собой разложение прямоугольной волны:
1, 0<*<я,
(14.52)
Г (X) =
— 1, — Jt<*<0.
Изучение графика функции, представленной на рис. 14.3, убеждает нас, что f (*) действительно ее производная.
Операция дифференцирования, обратная интегрированию, добавляет дополнительный множитель п в числителе каждого члена. Это ухудшает сходимость ряда и может, как мы уже в этом убедились в самом начале, сделать продифференцированный ряд расходящимся. Вообще, почленное дифференцирование допустимо при тех же условиях, какие требуются для равномерной сходимости.
Множители сходимости. Дифференцирование опасно еще и в другом отношении. Во-первых, следует заметить, что использование бесконечного числа членов в ряде Фурье часто не представляется возможным. Вместо этого положим
/M==M*)+ %(*), (14.53) 574
г ji а в а 14. ряды фурье
где функции
т— 1
f»(x)= S Cnei" (14.54)
п=-(го-1)
придана экспоненциальная форма, что обеспечивает сходимость, а под Tjm понимается остаточный член, который в явном виде записывается следующим образом:
сю сю
TlmW= S (СпЄіад+ С_ПЄ-ІПЯ)=ЄІЯ" S Wein* + n=m п=О
со
Wmx SC-m-ne-in3C=eiTn:SpmW+e-imVmW. (14.55)
п=0
В радиотехнике функцию т)т(*) называют модулированной
оо о о ** 2. TD f
несущей волной с несущей высокой частотой е 1 и модуляцией PmM- Продифференцируем остаточный член
^jgifL - trneimxpm (*) + Єітл + ... (14.56)
В результате дифференцирования в правой части появился крайне нежелательный первый член, который расходится при т Он соответствует дифференцированию несущей частоты efm*. Фактически же мы хотим продифференцировать модуляцию рт (*), а эта часть обладает хорошими свойствами.
Попытаемся преодолеть трудность, связанную с возникшей расходимостью, для чего введем новый дифференциальный оператор 3)т
sjix)= [ (14 57)
представляющий собой некоторую среднюю производную. Очевидно,
Iim ^m = -Jr . (14.58)
т-* оо ах
Подействуем оператором ZDm на остаточный член:
*
«С „ e^+^Wi*+ Я/т)-№*-*™рт (x-njm) t ЛтЧт (X) =-2n/m-+
e-M*fw/m)p_w {х + п/т) _ е-<«(«-я/«)р_го (Х - nim)
УтЧт (X) = -eimx^mpm (*) -e-im*$mp-m (*). (14.59) 14.3. свойства рядов фурье
