Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 145

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 185 >> Следующая


На единичной окружности z — eie, поэтому

f(z) = f (еіе) 2 d„e4»0. (14.5)

Tl=-QO

Полнота. Ряд Лорана. Разложение Лорана (14.5) в единичном круге имеет тот же вид, что и ряд Фурье для комплексной переменной, поэтому можно говорить об их эквивалентности. Ряд Лорана, являясь степенным, обладает свойством полноты, следовательно, можно утверждать, что функции Фурье еіпзс образуют полную систему; иными словами, функции, кусочно-регулярные в области (0, 2а), представимы рядами (14.1) и (14.2). Эта область и связанный с ней вопрос периодичности обсуждаются в следующем разделе.

Разложение в ряд Фурье и свойство полноты можно было ожидать заранее, поскольку функции sin л-, cos пх, ein* являются собственными для самосопряженного линейного дифференциального уравнения

у" + п*у = 0. (14.6)

Получим ортогональные собственные функции, соответствующие собственным значениям п, взяв отрезок 10, рл 1, где р — целое, с тем, чтобы удовлетворить граничным условиям теории Штурма — Лиувилля. Если положить р = 2, то различные собственные функции для одного и того же собственного значения могут быть ортогональными. Имеем

2jt

sinm* sin nxdx

о

2 я

cos тх cos nx dx

0

2n

sin mx cos nx dx

0

Здесь n, m — целые числа. Отметим, что любой отрезок *о X ^ X0 + 2л; удовлетворяет поставленным требованиям. Чтобы получить отрезок —л X ^ я, мы часто будем полагать xQ = —я, В случае комплексных собствен-

=I -{

rtom>n, тФО,

О, т = 0;

ябт,п, тф О,

2 я, т = п = 0;

(14.7)

(14.8)

= 0.

(14.9) 14.1. общие свойства

56'

ных функций e±inx ортогональность обычно подразумевает комплексное сопряжение одной из функций



J (eimx)* еіт,зс dx=2nbm, л» (14.10)

о

что согласуется с трактовкой сферических функций.

Теория Штурма — Лиувилля. Теория Штурма — Лиу-вилля гарантирует выполнение (14.1) (для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле) и с учетом ортогональности позволяет определить коэффициенты разложения



сіп —~ j f(t)cosntdt, (14.11)

о



= j /(Qsin nt dt. (14.12)

о

При этом, конечно, подразумевается существование интегралов. Это условие выполнено, если функция f (t) кусочно-непрерывна. Подставим интегралы (14.11) и (14.12) в (14.1), тогда разложение Фурье имеет вид



/W=-SrJfWtf +

u

QO 2л 2л

-2 (cos пх j f W cos^ J,~s*nпх I f (0 smnf dt) =

n=0 О • О

2л оо 2л

= ^r j./(OA+i-S j/(<)cos«(/-x)A. (14.13)

О 71= 1 О

Первый (постоянный) член представляет собой среднее значение 7 W на отрезке [0, 2я].

Пилообразная функция. Рассматривая разложение функции

I X, 0<*<я,

/ M=H о о (14.14)

' w \ * — 2я, я < д: < 2я v

в ряд Фурье, можно получить представление о его сходимости и об ошибке этого приближения, если число членов

36-1257 562

глава 14. ряды фурье

ряда конечное. Для удобства рассмотрим отрезок [-—л;, я], на котором f (х) = X. С учетом (14.11) и (14.12) легко убедиться, что разложение функции / (jt) должно иметь вид

f (X)=X =

(14.15)

На рис. 14.1 показана функция f (*) на отрезке 0 < х ^ п и ее приближения рядом (14.15), в котором ограничились

ции рядом Фурье (числа означают количество просуммированных членов), j

четырьмя, шестью и десятью членами ряда. Отметим три характерных особенности: 1) точность представления постоянно возрастает по мере увеличения числа просуммированных членов; 2) все кривые проходят через среднюю точку у = О при X — л; 3) вблизи точки х = я имеется выброс, который не уменьшается с ростом количества просуммированных членов.

Поведение в окрестности точки разрыва. Поведение ряда в точке X = я иллюстрирует общее правило, что при ограниченности функции в этой точке сумма ряда сходится к среднему арифметическому. Если точка разрыва совпадает 14.2. применение рядов фурье

563

с X = X0, то сумма ряда приводит к

f(*o) = ylf(*o+) + /(*o-)L (14.16)

т. е. к среднему значению, найденному по величине функции справа и слева от л: = х0.

Выброс, или своеобразный дефект сходимости, которым характеризуется приближенное значение суммы ряда при подходе к точке X = я, называется явлением Гиббса (см. разд. 14.5).

Упражнение

Функция f (х) (квадратично интегрируемая) должна быть разложена в ряд Фурье с ограниченным числом членов. Удобно оценивать точность такого представления, интегрируя квадрат отклонения:

2я р

I \j S (a»cos пхЛ-Ьп sin nx)J dx.

0 71= і

Показать, что услопие мипнмалыюсти Ap

дДр адп дап Obn

для всех п приводит к выбору коэффициентов ап и Ьп именно в виде интегралов (14.11) и (14.12).

14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ

Разрывные функции. Одно из преимуществ представления рядом Фурье по сравнению с другими (например, по сравнению с представлением в виде ряда Тейлора) заключается в том, что его можно применить к разрывным функциям.

Периодические функции. Ряды Фурье широко используются для представления периодических функций. Пусть функция f(x) имеет период 2л, тогда естественно разложить ее в ряд по функциям с периодом 2л, 2л/2, 2я/3... При этом можно утверждать, что если периодическая функция f(x) разложена в ряд на отрезке 10, 2л] или [ — л, я], то полученное разложение имеет силу для любых конечных X. Учитывая последнее, удобно рассмотреть свойства
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed