Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
На единичной окружности z — eie, поэтому
f(z) = f (еіе) 2 d„e4»0. (14.5)
Tl=-QO
Полнота. Ряд Лорана. Разложение Лорана (14.5) в единичном круге имеет тот же вид, что и ряд Фурье для комплексной переменной, поэтому можно говорить об их эквивалентности. Ряд Лорана, являясь степенным, обладает свойством полноты, следовательно, можно утверждать, что функции Фурье еіпзс образуют полную систему; иными словами, функции, кусочно-регулярные в области (0, 2а), представимы рядами (14.1) и (14.2). Эта область и связанный с ней вопрос периодичности обсуждаются в следующем разделе.
Разложение в ряд Фурье и свойство полноты можно было ожидать заранее, поскольку функции sin л-, cos пх, ein* являются собственными для самосопряженного линейного дифференциального уравнения
у" + п*у = 0. (14.6)
Получим ортогональные собственные функции, соответствующие собственным значениям п, взяв отрезок 10, рл 1, где р — целое, с тем, чтобы удовлетворить граничным условиям теории Штурма — Лиувилля. Если положить р = 2, то различные собственные функции для одного и того же собственного значения могут быть ортогональными. Имеем
2jt
sinm* sin nxdx
о
2 я
cos тх cos nx dx
0
2n
sin mx cos nx dx
0
Здесь n, m — целые числа. Отметим, что любой отрезок *о X ^ X0 + 2л; удовлетворяет поставленным требованиям. Чтобы получить отрезок —л X ^ я, мы часто будем полагать xQ = —я, В случае комплексных собствен-
=I -{
rtom>n, тФО,
О, т = 0;
ябт,п, тф О,
2 я, т = п = 0;
(14.7)
(14.8)
= 0.
(14.9)14.1. общие свойства
56'
ных функций e±inx ортогональность обычно подразумевает комплексное сопряжение одной из функций
2л
J (eimx)* еіт,зс dx=2nbm, л» (14.10)
о
что согласуется с трактовкой сферических функций.
Теория Штурма — Лиувилля. Теория Штурма — Лиу-вилля гарантирует выполнение (14.1) (для функций, удовлетворяющих условиям Дирихле) и с учетом ортогональности позволяет определить коэффициенты разложения
2л
сіп —~ j f(t)cosntdt, (14.11)
о
2л
= j /(Qsin nt dt. (14.12)
о
При этом, конечно, подразумевается существование интегралов. Это условие выполнено, если функция f (t) кусочно-непрерывна. Подставим интегралы (14.11) и (14.12) в (14.1), тогда разложение Фурье имеет вид
2л
/W=-SrJfWtf +
u
QO 2л 2л
-2 (cos пх j f W cos^ J,~s*nпх I f (0 smnf dt) =
n=0 О • О
2л оо 2л
= ^r j./(OA+i-S j/(<)cos«(/-x)A. (14.13)
О 71= 1 О
Первый (постоянный) член представляет собой среднее значение 7 W на отрезке [0, 2я].
Пилообразная функция. Рассматривая разложение функции
I X, 0<*<я,
/ M=H о о (14.14)
' w \ * — 2я, я < д: < 2я v
в ряд Фурье, можно получить представление о его сходимости и об ошибке этого приближения, если число членов
36-1257562
глава 14. ряды фурье
ряда конечное. Для удобства рассмотрим отрезок [-—л;, я], на котором f (х) = X. С учетом (14.11) и (14.12) легко убедиться, что разложение функции / (jt) должно иметь вид
f (X)=X =
(14.15)
На рис. 14.1 показана функция f (*) на отрезке 0 < х ^ п и ее приближения рядом (14.15), в котором ограничились
ции рядом Фурье (числа означают количество просуммированных членов), j
четырьмя, шестью и десятью членами ряда. Отметим три характерных особенности: 1) точность представления постоянно возрастает по мере увеличения числа просуммированных членов; 2) все кривые проходят через среднюю точку у = О при X — л; 3) вблизи точки х = я имеется выброс, который не уменьшается с ростом количества просуммированных членов.
Поведение в окрестности точки разрыва. Поведение ряда в точке X = я иллюстрирует общее правило, что при ограниченности функции в этой точке сумма ряда сходится к среднему арифметическому. Если точка разрыва совпадает14.2. применение рядов фурье
563
с X = X0, то сумма ряда приводит к
f(*o) = ylf(*o+) + /(*o-)L (14.16)
т. е. к среднему значению, найденному по величине функции справа и слева от л: = х0.
Выброс, или своеобразный дефект сходимости, которым характеризуется приближенное значение суммы ряда при подходе к точке X = я, называется явлением Гиббса (см. разд. 14.5).
Упражнение
Функция f (х) (квадратично интегрируемая) должна быть разложена в ряд Фурье с ограниченным числом членов. Удобно оценивать точность такого представления, интегрируя квадрат отклонения:
2я р
I \j S (a»cos пхЛ-Ьп sin nx)J dx.
0 71= і
Показать, что услопие мипнмалыюсти Ap
дДр адп дап Obn
для всех п приводит к выбору коэффициентов ап и Ьп именно в виде интегралов (14.11) и (14.12).
14.2. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Разрывные функции. Одно из преимуществ представления рядом Фурье по сравнению с другими (например, по сравнению с представлением в виде ряда Тейлора) заключается в том, что его можно применить к разрывным функциям.
Периодические функции. Ряды Фурье широко используются для представления периодических функций. Пусть функция f(x) имеет период 2л, тогда естественно разложить ее в ряд по функциям с периодом 2л, 2л/2, 2я/3... При этом можно утверждать, что если периодическая функция f(x) разложена в ряд на отрезке 10, 2л] или [ — л, я], то полученное разложение имеет силу для любых конечных X. Учитывая последнее, удобно рассмотреть свойства