Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
on
P (k, 1O = ^f j д{Х, T)e««d*.
—со
Эта задача аналогична задаче о распространении тепла в бесконечной среде.
е-д;2/4ят Ответ: q=S — ¦ у4т
2. Ортогональные функции Эрмита Tl (*) удовле-
творяют дифференциальному уравнению (см. разд. 13.1)
С помощью этого уравнения получить фурьс-преобрязовяние для функции срп (х).
15.5. ТЕОРЕМА СВЕРТКИ
Рассмотрим две функции f (*) и g (х), фурье-преобразо-ваниями которых служат соответственно F (t) и G (t). Назовем операцию
OO
f*8 s уУ 1 S(y)f(x-y)dy (15-51)
—00
сверткой двух функций / и g в интервале (—оо, оо). Для f Ш) = графики самой функции / (*/) и / (х — у) пред- 15.5. теорема свертки
593
ставлены на рис. 15.2. Очевидно, эти графики являются зеркальным отражением друг друга относительно вертикальной линии у — х12, т. е. мы можем получить f {х — у),
Рис. 15.2. Свертка функций f и g.
«свернув» f (у) по линии у = х!2. Видоизменим теперь интеграл (15.51), введя в него преобразования Фурье
OO OO OO
J g(y)f(x-y)dy = ^= J г to) J F (t)e-« ^dtdy =
—оо —оо —оо
OO OO OO
—= j F (t) e~itx dt J g (у) eiiy dy = j F (t) G (t) e~iix dt.)
—00 -OO —00
(15.52)
Здесь мы изменили порядок интегрирования и воспользовались преобразованием функции g(y). Этот результат можно сформулировать в виде следующей теоремы: если F (t) и G (t) — преобразования Фурье функций f(t) и g(t), то обратным преобразованием Фурье произведения F-G является свертка первоначальных функций f * g. Если X — 0, имеем
OO OO
j F(t)G(t)dt= j f У) g {у) dy. (15j&)
-OO —со
Соотношение Парсеваля. Аналогичные результаты получаются для синус- и косинус-преобразований Фурье (см.
38-1257 594 г л а.в а 15. интегральные преобразования
ниже упр. І и 2). Формула (15.53) и соответствующие синус-и косинус-свертки по аналогии с теоремой Парсеваля (см. упр. 2 к разд. 14.3) часто называются соотношениями Парсеваля.
Соотношения Парсеваля можно получить и независимо от обратного преобразования Фурье, а затем использовать их для строгого определения формулы обращения *.
Упражнения
1. Получить уравнение свертки, соответствующее уравнение (15.52), для синус- и косинус-преобразований Фурье. Ответ:
оо
j g (у) І {х—у) dy= — J Fs (s) Gs (s) sin s* ds,
о о
OO OO
j g (у) \ {х—у) j Fc (s) Gc (s) cos sx ds. '
O u
2. Показать, что как для синус-, так и для косинус-преобразования Фурье соотношение Парсеваля имеет форму
OO
j F(t)G(t)dt = j f(x)g(x)dx.
3. Функция g (у) равна единице в интервале О ^ у а и нулю для всех остальных значений у. С помощью этой функции и соотношения Парсеваля (15.53) получить формулу обращения Фурье (15.22). Указание. Продифференцировать по а.
15.6. МЕТОД МОМЕНТОВ
В квантовой механике одинаково часто встречаются понятия импульса и координаты. Сначала рассмотрим обычное пространственное распределение, а затем перейдем к соответствующему распределению импульсов. В одномерном случае волновая функция ф (х), представляющая собой решение уравнения Шредингера, обладает следующими свойствами:
* Подробнее см. M о р с П. M., Ф е ш б а X X. Методы теоретической физики. Перев. с англ. M., Изд-во иностр. лит. 1958. 15.6. Метод моментов
595
!.Произведение ф* (дг) ф (л:) dx определяет вероятность нахождения частицы в интервале (х, х dx). 2. Интеграл
OO
j ф* (Jt) ф (х) dx = 1 (15.54)
— OO
характеризует полную вероятность обнаружить частицу в любом месте оси X.
3. Кроме того, среднее значение координаты частицы
на оси X равно *
OO
Jt= j ty(x)xty(x)dx. (15.55)
-OO
Определим функцию g(p), которая будет давать аналогичную информацию об импульсе частицы.
Г. Произведение g*(p)g(p)dp определяет вероятность того, что импульс частицы лежит в интервале (/;, p-\-dp).
OO
2'. (15-56)
-OO OO
3'. P = j g* (P) Pg (P) dp. (15.57)
OO
Ниже будет показано, что такая функция определяется преобразованием Фурье пространственной функции ф(*):
OO
g (P) = -Щ- J Hx)t-b*»dx, (15.58)
— OO OO
g* (P) = -Izjr J г W dx. (15.59)
— 00
Для проверки рассмотрим конкретно свойства 2' и 3'. Запишем подробно условие нормировки
OO OO 00
j g'(p)g(p)'dp= j j ] ^^hdp) X
-OO —OO —00 -OO
X ф* (x') ф (JC) dx' dx. (15.60)
* Эта величина часто называется ожиданием и обозначается <*).
38* 596 г л а.в а 15. интегральные преобразования
Выражение в круглых скобках—фурье-преобразование б-функции Дирака (см. ниже упр. 1 и 2), поэтому
СО OO OO
j g*(p)g{p)dp = J j б(х-*')¦*(*')¦(*)dx'dx- (15'61)
—CO —OO —со
Интегрированием по х! доказывается свойство 2. Последний интеграл соответствует соотношениям Парсеваля
OO OO
j F (t) G* (t) dt = J f(y)g* (y)dy, (15.62)
—00 —00 оо оо
F(t)\*dt= j \i(y)\*dy. (15.63)
— 00 —00
Для проверки свойства 3' необходимо доказать, что
OO 00
P= J g*(P)PS (P) dp- j Г (X) -J-"^l'Md*, (15.64)
— 00 —00
где (A/t) (d/dx) — оператор импульса в пространственном представлении. Заменим функции импульса, после чего первый интеграл приобретает вид
