Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Арфкен Г. -> "Математические методы в физике" -> 149

Математические методы в физике - Арфкен Г.

Арфкен Г. Математические методы в физике — М.: Атомиздат, 1970. — 712 c.
Скачать (прямая ссылка): matematmetodivfizike1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 185 >> Следующая


575

Отсюда ясно, что оператор 3)т действует только на модуляцию рт и не действует на несущую частоту егтх. Расходящийся член вида im eim* pm (х) при этом исчезает. (В последнем соотношении отрицательные знаки возникли из-за наличия точек х dt піт, которые сдвигают один полуцикл eim*.)

Подействуем оператором 3)т на ряд Фурье, записанный в комплексной форме:

м iux ein(*+*/m>-e+in(x-n/m> . in* sin(/!H/m) „, ?m

отсюда

= [ 8lnJgm) ] ~ ein*. (14.61)

Дополнительный множитель sin (пп!т)!(пп!т) называется коэффициентом сглаживания или множителем сходимости Gn

0n=iilA. (,4.62)

Включение коэффициента On в дифференцируемый ряд иногда улучшает сходимость. Ряд Фурье, в котором суммируется конечное число членов

m-1

fM^-y-+ 2 (ап cos nx + bn sin пх)у. (14.63)

n=i

можно записать теперь иначе:

т— 1

/M = T-+ h S{tr cos nx + bn sin пх). (14.64)

п=1

Как будет ясно из дальнейшего (см. разд. 14.5), коэффициент ап почти целиком уничтожает явление Гиббса.

Упражнения

1. Показать, что в результате интегрирования Фурье-разложения функции / (х)—х, — я < X < it получается

OO Tl= 1 576

глава 14. ряды фурье

2. Предполагая, что функция f (х) представлена равномерно сходящимся рядом Фурье, доказать тождество Парсеваля

Я оо

JL j і/ (X))* ^=4+ S

-я ті= 1

Применив тождество Парсеваля, получить в замкнутом виде дзета-функцию Римана ? (4) из разложения

OO

v2-ul_l v (-^ncos ПХ

З ' ZJ л2

Tl= і

14.4. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА

Явление Гиббса представляет собой специфическое свойство ряда Фурье и связано с особенностями его поведения в окрестности простого разрыва (см. рис. 14.1). Рассмотрим поведение фурье-разложения периодической прямоугольной волны

f h/2, 0<х<п,

Н*) = { _А/2) _я<,<0, (14-65)

которое имеет вид (см. разд. 14.2):

f / V 2h /rSin X . sin 3x . sin 5x , \ л

'W^ir гт~+—+—+"•)' <14'66>

Суммирование ряда*. На рис. 14.1 показан график суммы нескольких первых членов ряда Фурье для пилообразной функции. Разработаем теперь аналитический метод суммирования первых г членов ряда (14.66). Из уравнения (14.13)

я

апcostix-\-bnsinn* = j f(t)cosn (t—x)dt. (14.67)

—л

Тогда r-я частичная сумма окажется равной

г

Sr (*) = 2 (ап cos ПХ + bn sin пх) =

п=0

Л г<

= Re^ J f(t) [1+ S dt. (14.68)

—Я Tl= 1

* Любопытно, что этот ряд встречается в анализе дифракционной решетки (г щелей). 14.4. явление гйббса

577

Просуммировав ряд с конечным числом экспоненциальных членов (геометрическая прогрессия), получим

» sin (г+ -Mtf-*)

^Ws=-ST У® \ -dL (14-69)

-Я Sinytf-X)

Этот интеграл сходится всюду, исключая точку t — х.

Прямоугольная волна. Попытаемся теперь воспользоваться полученным результатом и применим его к прямоугольной волне (14.66); сумма первых г членов (член а0!2) в данном случае обращается в нуль) равна

M*) = ^ J

Я Sin (г+ !)(*-*)

dt

о sin-^tf—х)

? 2

Jl f Цг + т)^> dt _=JL Г

4л J . 1 /і і V 4л J 1 .

Jn siny tf + x) ї sin -jit—x)

dt

т

"sin (r + 4-)(' + *)

V і . dt- (!4-70)

Siny(H-X)

Последний результат получается после замены во втором интеграле t——t. В первом члене заменим t—x на s, а во втором t~\~x на s:

* Tsin(f+^K Л TsinIr+т)

''W=ITr ! , і2 ds~ik і

s

1_

2 " * 2

ds =

_х Sin -JT- S Зс SinTT S

І ' 1 R-J -lT^l*- (14-71)



s,n у - Я-Ї — 2

Sin -J7 S я-х Sin -TT S

При х->0 второй интеграл становится пренебрежимо малым, поэтому можно связать первый интеграл с разрывом в точке х = 0. Произведя замену г + 1/2 = р и =

37— I 257 578

глава 14. ряды фурье

получаем

рх

* W-41 IiSfcrf- (14-72>

о

Частичная сумма Sr (х) начинается с нуля, когда х = О [в согласии с уравнением (14.16)1, затем она возрастает, пока не выполнится условие рх = л, в этой точке числитель sin I, становится отрицательным. Для большого г и, следовательно, большого р знаменатель остается положительным.

Максимальное значение частичной суммы равно

П п

/\ A 1 Г sinHdS h 2 f sin E ,«. ,лАПп\

^W- = T'! ІЕЩ?ЖТ7 Г4' (14'73)

О о

Очевидно, интеграл превосходит я/2, ибо его можно разбить на части:

оо Зя 5 я я

(1-1-1--)^=1^ <1474>

О я Зя О

Вычисление всплеска. Первый интеграл в левой части соотношения (14.74), взятый в пределах от О до оо, равен л/2 (см. разд. 7.2). Из этого интеграла вычитается ряд из отрицательных членов. Разлагая в степенной ряд и почленно интегрируя, получаем

я

1 J SljpdE= 1,1789798... (14.75)

о

Это означает, что график суммы ряда Фурье имеет некоторый положительный выброс, примерно равный 18%, а вслед за ним, наоборот, впадину почти такой же величины (рис. 14.4). Учет большего числа членов (увеличение г) не уменьшает величины горба, а только приближает его к точке разрыва. Превышение частичной суммы ряда Фурье над точным значением называют явлением Гиббса, по этой причине представление рядом Фурье может быть очень ненадежным для точных вычислений, особенно в окрестности точки разрыва. I4.-1. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 185 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed