Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
575
Отсюда ясно, что оператор 3)т действует только на модуляцию рт и не действует на несущую частоту егтх. Расходящийся член вида im eim* pm (х) при этом исчезает. (В последнем соотношении отрицательные знаки возникли из-за наличия точек х dt піт, которые сдвигают один полуцикл eim*.)
Подействуем оператором 3)т на ряд Фурье, записанный в комплексной форме:
м iux ein(*+*/m>-e+in(x-n/m> . in* sin(/!H/m) „, ?m
отсюда
= [ 8lnJgm) ] ~ ein*. (14.61)
Дополнительный множитель sin (пп!т)!(пп!т) называется коэффициентом сглаживания или множителем сходимости Gn
0n=iilA. (,4.62)
Включение коэффициента On в дифференцируемый ряд иногда улучшает сходимость. Ряд Фурье, в котором суммируется конечное число членов
m-1
fM^-y-+ 2 (ап cos nx + bn sin пх)у. (14.63)
n=i
можно записать теперь иначе:
т— 1
/M = T-+ h S{tr cos nx + bn sin пх). (14.64)
п=1
Как будет ясно из дальнейшего (см. разд. 14.5), коэффициент ап почти целиком уничтожает явление Гиббса.
Упражнения
1. Показать, что в результате интегрирования Фурье-разложения функции / (х)—х, — я < X < it получается
OO Tl= 1576
глава 14. ряды фурье
2. Предполагая, что функция f (х) представлена равномерно сходящимся рядом Фурье, доказать тождество Парсеваля
Я оо
JL j і/ (X))* ^=4+ S
-я ті= 1
Применив тождество Парсеваля, получить в замкнутом виде дзета-функцию Римана ? (4) из разложения
OO
v2-ul_l v (-^ncos ПХ
З ' ZJ л2
Tl= і
14.4. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
Явление Гиббса представляет собой специфическое свойство ряда Фурье и связано с особенностями его поведения в окрестности простого разрыва (см. рис. 14.1). Рассмотрим поведение фурье-разложения периодической прямоугольной волны
f h/2, 0<х<п,
Н*) = { _А/2) _я<,<0, (14-65)
которое имеет вид (см. разд. 14.2):
f / V 2h /rSin X . sin 3x . sin 5x , \ л
'W^ir гт~+—+—+"•)' <14'66>
Суммирование ряда*. На рис. 14.1 показан график суммы нескольких первых членов ряда Фурье для пилообразной функции. Разработаем теперь аналитический метод суммирования первых г членов ряда (14.66). Из уравнения (14.13)
я
апcostix-\-bnsinn* = j f(t)cosn (t—x)dt. (14.67)
—л
Тогда r-я частичная сумма окажется равной
г
Sr (*) = 2 (ап cos ПХ + bn sin пх) =
п=0
Л г<
= Re^ J f(t) [1+ S dt. (14.68)
—Я Tl= 1
* Любопытно, что этот ряд встречается в анализе дифракционной решетки (г щелей).14.4. явление гйббса
577
Просуммировав ряд с конечным числом экспоненциальных членов (геометрическая прогрессия), получим
» sin (г+ -Mtf-*)
^Ws=-ST У® \ -dL (14-69)
-Я Sinytf-X)
Этот интеграл сходится всюду, исключая точку t — х.
Прямоугольная волна. Попытаемся теперь воспользоваться полученным результатом и применим его к прямоугольной волне (14.66); сумма первых г членов (член а0!2) в данном случае обращается в нуль) равна
M*) = ^ J
Я Sin (г+ !)(*-*)
dt
о sin-^tf—х)
? 2
Jl f Цг + т)^> dt _=JL Г
4л J . 1 /і і V 4л J 1 .
Jn siny tf + x) ї sin -jit—x)
dt
т
"sin (r + 4-)(' + *)
V і . dt- (!4-70)
Siny(H-X)
Последний результат получается после замены во втором интеграле t——t. В первом члене заменим t—x на s, а во втором t~\~x на s:
* Tsin(f+^K Л TsinIr+т)
''W=ITr ! , і2 ds~ik і
s
1_
2 " * 2
ds =
_х Sin -JT- S Зс SinTT S
І ' 1 R-J -lT^l*- (14-71)
4л
s,n у - Я-Ї — 2
Sin -J7 S я-х Sin -TT S
При х->0 второй интеграл становится пренебрежимо малым, поэтому можно связать первый интеграл с разрывом в точке х = 0. Произведя замену г + 1/2 = р и =
37— I 257578
глава 14. ряды фурье
получаем
рх
* W-41 IiSfcrf- (14-72>
о
Частичная сумма Sr (х) начинается с нуля, когда х = О [в согласии с уравнением (14.16)1, затем она возрастает, пока не выполнится условие рх = л, в этой точке числитель sin I, становится отрицательным. Для большого г и, следовательно, большого р знаменатель остается положительным.
Максимальное значение частичной суммы равно
П п
/\ A 1 Г sinHdS h 2 f sin E ,«. ,лАПп\
^W- = T'! ІЕЩ?ЖТ7 Г4' (14'73)
О о
Очевидно, интеграл превосходит я/2, ибо его можно разбить на части:
оо Зя 5 я я
(1-1-1--)^=1^ <1474>
О я Зя О
Вычисление всплеска. Первый интеграл в левой части соотношения (14.74), взятый в пределах от О до оо, равен л/2 (см. разд. 7.2). Из этого интеграла вычитается ряд из отрицательных членов. Разлагая в степенной ряд и почленно интегрируя, получаем
я
1 J SljpdE= 1,1789798... (14.75)
о
Это означает, что график суммы ряда Фурье имеет некоторый положительный выброс, примерно равный 18%, а вслед за ним, наоборот, впадину почти такой же величины (рис. 14.4). Учет большего числа членов (увеличение г) не уменьшает величины горба, а только приближает его к точке разрыва. Превышение частичной суммы ряда Фурье над точным значением называют явлением Гиббса, по этой причине представление рядом Фурье может быть очень ненадежным для точных вычислений, особенно в окрестности точки разрыва.I4.-1. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА