Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
1
2лк
—оо
И \ Pe~ip(x~x')/n (*')¦¦ W dP dK'dx- (15-65)
-OO
Далее,
ре-«р <*-*')/» = A -^Le-1P (*-»')/»] . (15.66)
Подставляя выражение (15.66) в (15.65) и произведя при постоянных xf и р интегрирование по частям, получаем
OO OO
Р=ИЫ>Г J e-ip(x-x'),hdp]r(x')T--^(S)dx'dx..
—00 —00
(15.67)
Последний результат получен из условия обращения волновой функции в нуль при х± оо. Вновь воспользуемся б-функцией Дирака (см. упр. 1 к разд. 15.6), после чего 15.6. МЁТОД MoMfehTOB
выражение (15.67) сводится к (15.64) и импульсное представление Доказано.
Атом водорода. Атом водорода в основном состоянии описывается волновой функцией
^rHif2frr7ao' <15-68)
где uq — A2//rt?2 — радиус Бора. Для трехмерного случая преобразование, соответствующее (15.58), имеет вид
OO
8 (P) = J * № e^p-r/n dr- (15-69)
— 00
Подставим функцию (15.68) в последний интеграл и с учетом того, что
00
J e-f"*-^, (15.70)
—00
получим волновую функцию водородного атома в импульсном представлении:
fl3/2ft5/2
JW = irwTSPPir- <15-71>
Аналогичная функция в импульсном представлении получается в задаче о комптоновском рассеянии на атомных электронах; распределение рассеянного излучения по длинам волн определяется импульсами электронов, на которых происходит рассеяние.
Связь между пространственным и импульсным представлениями легко проследить, если обратиться к основным соотношениям коммутации квантовой механики. Можно начать с классического гамильтониана и получить затем волновое уравнение Шредингера, для чего достаточно потребовать, чтобы имело место коммутационное соотношение:
[p,x] = (px—xp) — —ifi, (15.72)
где р — импульс, X — координата. Для многомерного пространства это уравнение запишется так:
lPi,Xj] = —іМи. (15.73)
Представление Шредингера (пространственное, ^-представление) получается, если Xj-+Xjt Pi-+— Hidldxi. Здесь 598 ГЛАВА 15. ИнТегрАлЬнЫе преобразование
....... ¦ '
импульс заменяется производной по координате. Легко проверить, что
[М Ф W - — Щ (х). (15.74)
Однако условие (15.72) тоже окажется выполненным, если
В этом случае получаем импульсное р-представление, для которого
ІР> x]g(p) = — ihg(p). (15.75)
Следовательно, ^-представление не единственно, возможно еще и р-представление.
Вообще, из ^-представления волновое уравнение получается более естественным путем, так как потенциальная энергия V обычно записывается как функция координат V (х, у, г). р-Представление обычно приводит к интегральному уравнению (см. гл. 16), для его иллюстрации рассмотрим гармонический осциллятор.
Гармонический осциллятор. Запишем классический гамильтониан
И (/л X) pV2m ~b kxV2 - Е. (15.76)
В ^-представлении мы получим
-?-?2+jkx^(X) ^= Et(X). (15.77)
Для полной энергии E7 равной V(klm) Ы2, это уравнение имеет решение
(15.78)
р-Представление дает
ls(P)-^-^Eg(P). (15.79)
Снова для
?=/Т-т (15-80.''
волновое уравнение (15.79), записанное в р-представлении, имеет решение
g(p) = e-p4( 2П\ГШ), (15.81) 15.6. метод моментов
599
В зависимости от удобства решения данной конкретной задачи можно прибегать к любому представлению, пространственному или импульсному (и вообще к бесконечному числу других возможных представлений). В упр. 5 (см. ниже) волновая функция в р-представлении g (р) представляет собой обратное фурье-преобразование функции (15.78).
Упражнения
1. Найти фурье-преобразование б-функции Дирака, а затем, используя обратное преобразование, получить интегральное представление
OO
б (х) = JL j e~ihxdk.
— 00
2. Используя соотношения б (л:) = Iim б (л:,а), б (я, а) —
• а->оо
— —^=T Є~а2*2 в качестве определения б-функции Дирака, показать, л
то
cx'
б (jc) =JL j e~ihxdk.
— 00
3. В квантовой механике бесконечная плоская волна представляется функцией ф (л:) = eip'X//R. Найти соответствующее р-представление этой функции. Отметим, что не нормирована.
4. Частица, находящаяся в одномерной потенциальной яме О <*<а, описывается волновой функцией ф(дг)~ sin (tinx/a), где л — целое. Определить соответствующую волновую функцию в р-представлении и дать ее физическую интерпретацию. Указание. Не учитывать граничные условия отражения частицы от стенок ямы и считать, что волновая функция отыскивается во всем пространстве.
5. Волновая функция линейного квантового осциллятора имеет
вид ф (*) = а-1//2Ji-1^e "x2Z2a2. Показать, что соответствующая функция в р-представлении равна g (p) = a1//2n-1//4ft-li/2e~~a2p2/2R2.
6. Пусть
ее«..)=/0<^е'
v \ 0, л: < 0, л: > е.
Выразить б(х, є) через интеграл Фурье и показать, что
OO
Ііш б (х, g)=~— f e~ihxdk.
Є-И> 2л J
— 00 »
600 глава 15. интегральные преобразования
7. Используя результаты упр. 1, 2 или 6, получить представление б (х) — Iim —- Это выражение служило отправной точкой
а-уоо пх
при строгом разложении в ряд Фурье.
15.7. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Преобразование Лапласа / ($) или в символической записи X функции F (t) определяется формулой *
