Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
Из самого вида вырожденного гипергеометрического уравнения и характера особенностей можно ожидать, что вырожденные гипергеометрические функции будут входить в представления многих специальных функций математической физики. Для функций Бесселя:
Jv(x) (I)vM (v +1, 2v + i; 2ix) , (13.118)
для функций Бесселя мнимого аргумента первого рода
2v+1; 2*). (13.119)
* Слетер называет эти функции присоединенными. ** Рекуррентные соотношения, связывающие функции Бесселя, полиномы Эрмита и Лагерра, являются частными случаями этих уравнений. 556
>
Г JI А В А 13. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Полиномы Эрмита. Полиномы Эрмита удовлетворяют соотношениям
H111 (X) = (- \)п ^ M ( - я, 1; *»), (13Л20)
H2n+l(x) = (-\)n^P±xM(-n,j; *«), (13,121)
которые следуют из уравнения (13.116).
Сравнивая дифференциальное уравнение Лагерра с уравнением для вырожденной гипергеометрической функции, получаем
Ln (я) = M (—я, І; х). (13.122)
Параметр с с учетом результата (13.35) для х = 0 положен равным единице. Для присоединенных полиномов Лагерра справедливо равенство
L: (X) = (- 1Г Um (X) = M (- я, т + 1; *),
(13.123)
которое также проверяется сравнением со степенным рядом (13.41). Заметим, что в приведенной гипергеометрической форме параметры я и m обязательно должны быть целыми
числами; если они нецелые, то функция Ln (х) перестает быть полиномом.
Смешанные случаи. Иногда специальные функции удобно выразить через гипергеометрические, обычную и вырожденную. Если известно общее поведение последних, то специальные функции исследуются как частные случаи. Такой метод подходит для изучения асимптотики или вычисления нормирующих интегралов. Существенно также и то, что гипергеометрические функции помогают лучше понять различные соотношения, которыми связаны специальные функции. Например, анализ уравнений (13.120), (13.121) и (13.123) вскрывает связь между полиномами Лагерра и Эрмита (см. ниже упр. 4).
Очевидно, вырожденное гипергеометрическое уравнение (13.109) не является самосопряженным. В силу этого и по ряду других причин удобно ввести новую функцию
Mkil(X) +J, 2^+1; х). (13.124) 13.5. вырожденные гипергеометрйческие функции 557
Новая функция Mtm (функция Уиттекера) удовлетворяет самосопряженному уравнению
ЯЇЦ (*)¦+ ( - J+J +^ ) Mk„ (*) = 0. (13.125)
Это уравнение имеет второе решение
Wk]l(x) = e-xth»+l'W (\x-k-f-i, 2[x-f 1; je) . (13.126)
Упражнения
1. Показать, что определитель Вронского двух вырожденных гипергеометрических функций M (а, с\ х) и U (а, с; х) записывается в виде
MU'-MV= е*.
(а— 1)! Xе
Что произойдет, если а равно нулю или отрицательному целому числу?
2. Проверить преобразования Куммера
M (а, с; х) = ехМ(с—а, с;—х) и U (а, с\ х) = X1-cU (а—с-1-1, 2-е; х).
3. Проверить интегральные представления
1
OO
(/(а, с; j e-xtp-iil + ty-v-idt.
Ь
4. Вырожденная гипергеометрическая функция помогает сформулировать некоторые соотношения для специальных случаев. В качестве примера доказать, что
(*) = (—1)п22"п! L~i/2 (*2), Я2п+і (*)=(— l)n 22"+1 л! xl\[% (х*).
5. Показать, что функция Бесселя мнимого аргумента второго рода /Cv (*) представляется в виде
Kv(x) = ni/2e-*(2x)vU (v+4> 2v-H*> 2х) •
6. Показать, что уравнение для смежных вырожденных гипергеометрических функций
(с—a) M (а— 1, с\ х)+(2а—с+х) M (а, с\ x)—aM{a-\-\, с\ х) = 0
приводит к рекуррентной формуле (13.44) для присоединенных полиномов Лагерра. 558
.глава 13. специальные функции
7. Прямым дифференцированием и подстановкой проверить, что
со
функция у=ах~а [ QrHa^dt удовлетворяет уравнению jo
х/+(а+ 1+дг) у'+ау=0.
8. Проверить представление полинома Эрмита tf2n+i (*) (13.121) через вырожденную гипергеометрическую функцию, показав, что:
1) Н2П+1 (Х)1Х удовлетворяет вырожденному гипергеометрическому уравнению, в котором а=—л, с=3/2, а аргументом служит х2;
2) Ilmg^W=C-Iyil tte^"'.
я^О * ЛІ ГЛАВА 13
РЯДЫ ФУРЬЕ
14.1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Ряд Фурье. Ряд Фурье можно определить как представление функции рядом по синусу и косинусу:
OO со
f(x) = ~-+ 2 ап cosnx+ 2 ^n sin яд:. (14.1)
ті— і п=І
Чтобы такое разложение было возможным, функция должна иметь лишь конечное число разрывов, конечное число экстремумов — максимумов и минимумов, и должна быть ограниченной *. Функцию, удовлетворяющую этим условиям (они называются условиями Дирихле), можно назвать кусочно-регулярной. Существуют, правда, функции, которые не удовлетворяют условиям Дирихле. Однако в подавляющем числе физических задач, где приходится иметь дело с рядами Фурье, эти требования обычно выполняются.
Запишем cos пх и sin пх в экспоненциальной форме, тогда разложение (14.1) приобретает новую форму:
OO
/(*)= S CnZlnx, (14.2)
п=—оо
где
= у ^Oi cn — ~(an — ibn), = y (cin + ibn), n>0.
(14.3)
Разложим f (z) в ряд Лорана (см. разд. 6.4) (предполагая, что /(^ — аналитическая функция):
OO
/(г)= S A1Z11. (14.4)
П——OO
* Эти условия необходимы, но не docm?tno4Hbi, 560 глава 14. ряды фурье
