Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии. На отрезке [—-я, я! sinх—нечетная функция, а cos*—четная. Отсюда, если f(x) нечетная, все ап, опре-
36* 564
глава 14. ряды фурье
деленные интегралом (14.11), равны нулю, если же f(x) четная функция, то исчезают коэффициенты Ьп*, т. е.
со
?о 2
я» і
f(x) = ~-\- 2 Qn cos Iix1 если f(x) — четная; (14.17)
OO
f(x)~ 2 bnsmnx, если /(а;) — нечетная. (14.18)
П=1
Часто эти свойства оказываются полезными при разложении заданной функции.
Следует отметить, что ряд Фурье обладает свойством периодичности. Это обстоятельство существенно для выяснения вопроса, имеет ли силу разложение (14.1) вне ,заданного отрезка. Предположим, что задано только следующее:
f(x) = x, 0<*<я, (14.19)
и необходимо представить f (х) рядом. Остановимся только на трех из бесконечного числа возможных разложений: 1) ряд Тейлора
f M = Xt (14.20)
о/'. -JrJ^ir (14-21)
т. е. от всего ряда сохранился только один член, и этот ряд (из одного члена) определен для всех конечных х\
2) ряд Фурье по косинусу
X, — я<х<0, 2at — je, я<лс<2я;
3) ряд Фурье по синусу
Cx1 —я<х<0,
/(*) = { О о (14.22)
' w I х-2л, я< дс<2я. 4 '
Указанные три разложения, ряд Тейлора и ряды Фурье по косинусу и синусу, абсолютно справедливы на заданном отрезке [0, я]. Однако вне этого отрезка их поведение совершенно различно (рис. 14.2). Какому ряду отдать предпочтение? На этот вопрос нельзя ответить до тех Пор, пока мы не получим дополнительную информацию о f (х). Вполне допустимо, что можно выбрать любой из трех,
* Интегрирование в (14.11) и (14.12) в данном случае ;ведется от —п до +я. 14.2. применение рядов фурье
565
но и не исключено, что нельзя пользоваться ни одним из полученных представлений. Фурье-разложение выпол* няется для основного интервала. До тех пор пока мы не знаем является ли f (х) периодической функцией с периодом, равным заданному интервалу, или интервал ее периодичности равен Mrt части от заданного, нет никакой уверенности, что можно получить любое значение функции вне основного интервала.
fix) Уз
' Г Nf »
-2л -л / я- XZK ж
Рис. 14.2. Сравнение рядов Фурье по косинусам (/), синусам (2) и ряда Тейлора (3).
Предположим теперь, что мы решаем уравнение движения частицы, совершающей колебания под действием вынуждающей силы. В этом случае разложение силы в ряд Фурье представляет собой сумму главного члена и ряда по гармоникам. Дифференциальное уравнение (линейное) может быть отдельно решено для каждой из этих гармоник. Такой путь может оказаться значительно легче, чем попытка отыскивать решение сразу для всей заданной силы. Следовательно, пока мы имеем дело с линейным дифференциальным уравнением, для получения конечного решения можно просуммировать все его отдельные решения, соответствующие каждому члену разложения *. В этом заключается очень плодотворный математический прием. Он соответ-
* Одна из отрицательных характерных особенностей нелинейных дифференциальных операторов заключается в том, что принцип суперпозиции для них не выполняется. 566 ' г л а в а 14. ряды фурье
ствует определению ответной реакции системы на основную частоту и на каждую вспомогательную частоту в отдельности.
Иногда возникает вопрос: существуют ли все эти частоты на самом деле или они возникают как следствие анализа Фурье? В качестве возможного ответа можно сравнить разложение функции на гармоники с разложением вектора на прямоугольные составляющие. Отдельные компоненты существуют в том смысле, что их можно выделить и каким-то образом охарактеризовать, однако само разложение отнюдь не единственно. Следовательно, многое говорит о том, что гармоники возникают только в результате выбора разложения. Другое разложение по иной системе ортогональных функций должно давать другие результаты *.
Изменение интервала. До сих пор мы ограничивались интервалом длиной 2я. Однако если f (х) — периодическая функция с периодом 2L, мы можем записать
OO
f W = T"+ 2 [a„cos^+6„stn'i^] , (14.23)
П=1
где
L
Un = T j f® cos ПГ dt' « = 0,1,2,3, (14.24)
-L
L
bn=^T JfWsin 11Tdt' л= 1.2,3..... (14.25)
-L
переменная X из уравнения (14.1) заменена на nxlL, a t из уравнений (14.11) и (14.12) — на nt/L. (Для удобства выбран отрезок —п < X < я.)
Прямоугольная волна. Высокая частота. Простой пример использования ряда Фурье дает анализ «прямоугольной» волны, которую необходимо выразить через фурье-компоненты. Эти волны могут встретиться в электронных схемах, предназначенных для работы с импульсами, характеризующимися крутым подъемом. Предположим, что вол-
* См. Robinson В. L. Amer. J. Phys., 21, 391 (1953); Nan Name F. W. Amer. J. Phys., 22, 94 (1954). 14.2. применение рядов <j>vpbe
на задана следующим образом:
Г 0, -ji<X<0,
'M-U 0<*<я. (14-26>
С помощью уравнений (14.11) и (14.12) находим
я
а0 = ± j Kdx=K, (14.27) о
я
ал —™ j hcosnxdx = 0, п = I1 2, 3, ..., (14.28) о
я
1 Г h
Ьп — — \ hsinnxdx = —(1 —cosпп), (14.29)
о
причем
b п — 2h/n Jt, п — нечетное, (14.30)
