Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
-L 71= і -L
CD L
+ T Ssin^J /Wsin^-Л, (15.14)
n=l -L
ИЛИ
L оо L
/W = -ST J fWdt+T S J f V) cos ^ (t-x) dt. (15.15)
-L Ti=I-L
Устремим теперь L к бесконечности, трансформируя конечный промежуток [ — L,L] в интервал бесконечной длины (— с», оо). Положим nnlL = со, лJL = Дсо, Z, оо. Тогда
OO OO
/Ч*)~>4~ 2 Аш f (t) cos <o(t-x) dt, (15.16)
П—l —CD
CD OO
/(x) = -L j d(D j f(t)cosv>(t-x)ilt. (15.17)
-OO
Здесь мы заменили бесконечную сумму интегралом по. ю. Первый член (соответствующий а0) обратился в нуль,
OO
поскольку предполагается, что j / (t)dt существует.'
— 00
Следует подчеркнуть, что интеграл (15.17) введен чисто формально. Проведенный анализ нельзя считать строгим, однако этот же результат можно получить и совершенно 16.8. преобразование ЛАПЛАСА ПрОИЗВОДНОЙ
585
корректно *.. Заметим только, что в разд. 6.3 мы уже проделали; эту процедуру, причем совершенно другим способом, воспользовавшись контурным интегрированием и интегральной формулой Коши. В дальнейшем мы будем называть интеграл (15.17) интегралом Коши. Функция f (*) из этого интеграла удовлетворяет условиям Дирих-
OO
ле (гл. 14), и, кроме того, интеграл \ |f (t) \ dt сходится.
—00
Интеграл Фурье допускает и другую форму записи, в которой вместо тригонометрической функции фигурирует экспоненциальная. Действительно,
Г оо оо
f (х) = 2^; j dm j f (t) cos (D (t - x) dt, (15.18)
[_00 -OO
Й
OO OO
JL J d® J /(*)sin<D(*-jt)d/=0 (15.19)
-OO —00
б силу четности COS o) (t — x) и нечетности sin (0 (t — х) (по переменной (D).-к интегралу (15.18) прибавим интеграл (15.19), умноженный на і, тогда
OO OO
f (х) = JL J e-ia>xd(0 J f (t) еш dt. (15.20)
—00 -OO
Параметр to — произвольная математическая переменная. Во многих физических задачах под ней понимается угловая частота ю, поэтому представление функции / (х) интегралами (15.18) или (15.20) можно интерпретировать как набор бесконечно длинных синусоидальных волн с угловой частотой ю, которая изменяется в этом наборе непрерывно,
15.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Преобразованием Фурье функции f (t) будем называть функцию g(<»), определенную формулой
OO
?'(<¦>)= у= J f(i)e^d(. (15.21)
* См. С н е д д о н И. Преобразования Фурье, M., Изд-во иностр. лит., 1955. >
586 ГЛАВА 15. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Из (15.20) и (15.21) легко получить обратное экспоненциальное преобразование
OO
/W = -J7I= j g Mef^dO). (15.22)
-OO
Интересно, что выражения (15.21) и (15.22) почти симметричны и отличаются только знаком при і.
В зависимости от того, является ли f (лг) четной или нечетной, ее преобразование Фурье записывается в различной форме. Остановимся сначала на случае, когда / (*) — четная, т. е. f (х) = / (—X). Перепишем экспоненциальный множитель из формулы (15.21) в тригонометрическом виде:
OO
g (ш) = -L=Z f f (t) (cos at 4- і sin at) dt = V 2n J
у 2j
— W
_ OO
cos at dt. (15.23)
/1 j/H
о
При интегрировании в симметричных пределах (~оо, оо) член, содержащий sin обратился в нуль. Аналогично выражение (15.22) преобразуется в
, OO
/ W = j ? H cos ю*dti>- (15-24)
о
Интегралы (15.23) и (15.24) известны как косинус-преобразования Фурье.
Аналогичная пара синус-преобразований Фурье получается в предположении, что функция f (х) — нечетная, т. е. f{x) = — /(-*),
_ OO
g(a) = y^ ~^f(t)s\natdt*, (15.25) о
г—00 / 2 Ґ
f(x) = y — I g (а>) smaxda. (15.26)
о
Последняя форма записи f (х) дает возможность рассматривать эту функцию как континуум синусоидальных волн.
* Множитель — і включен в функцию g (оо). 16.1 ПреОёрАзойанИе фурье 587
« г. •__--I --—--
Амплитуда sin со/ равняется 1/2/ng(u>), где g (го) -синус-преобразование Фурье функции / (х). Отметим, что выражение (15.26) представляет собой интегральный аналог суммы (14.18). То же самое можно сказать и о косинус-преобразовании.
Если условимся называть формулы (15.21), (15.23) и (15.25) прямыми интегральными преобразованиями, которые в уравнении (15.10) обозначались оператором X, то соответствующие обратные преобразования, обозначаемые X'1, задаются формулами (15.22), (15.24) и (15.26), которые называются формулами обращения.
Волновой пакет конечной длины. Важное приложение преобразования Фурье связано с разложением конечного импульса синусоидальных волн. Предположим, что бесконечная синусоидальная волна обрезана с помощью затвора Keppa таким образом, что
sin w0f, I /1 < JVrt/<D0, 0, |/|>Mt/co0. (15'27)
Это соответствует N циклам, выделенным из первоначальной волны (рис. 15.1, а). Поскольку f (t) — нечетная, воспользуемся' синус-преобразованием Фурье (15.25):
__Nn/щ
f 2 Г
g((o) = J/ — \ sin sin (at dt. (15.28)
о
Интегрируя, найдем амплитудную функцию
/ \ _ Г s'n [(Щ—<»>) QVft/<»o)l _ sin [(Q)0 + (о) (А/я/(о0)] б - V л L 2 (O)0-(O) 2 (O)0H-о)) J '
(15.29)
Интересно проследить зависимость g (ш) от частоты. Если о)0 велико и о) « со0, то основное значение имеет только первый член (см. рис. 15.1,6, на котором представлена амплитудная кривая, соответствующая дифракционной картине от одной щели). Нули функции совпадают с точками
