Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
CQ0-Ci) Aco 1 2 _ „
-HST5=sISrs==tT' "дГ' (15-3°)$88 tjiaba і5. йнтегральйьіе преобразований
Поскольку вклад периферийных частей невелик, можно положить
Aco - щШ. (15.31)
Используя (15.31), можно с хорошей точностью измерять разброс по частоте в волновом пакете. Очевидно, при
Рис. 15.1. Конечный волновой пакет (а) и его фурье-преобразование (б).
большом N (длительный импульс) разброс по частоте невелик. С другой стороны, если из общей синусоидальной15.3. преобразование фурье
589
волны выделена короткая часть, т. е. N невелико, разброс по частота^ будет значительным.
Соотношение неопределенности. Существует классический аналог известного принципа неопределенности из квантовой механики. Пусть имеется электромагнитная волна, причем htd/2я = E- энергия (волнового пакета или фотона), тогда
ЬЫ2п = Д?, (15.32)
где h — постоянная Планка, которая характеризует неопределенность в энергии одного фотона. Кроме того, имеется неопределенность во времени; для прохождения N циклов волны требуется 2Мт/со0 секунд. Обозначим
M = 2Ып/щ (15.33)
и возьмем произведение двух величин
ас А 4- АД© 2 лМ , щ 2nN . /t с 0л\
ЬЕ-M = -^r------(15.34)
2л о)0 2 TiN ©о v '
В'соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга
. АЕ-М>Ш2я. (15.35)
Очевидно, результат (15.34) не противоречит этому принципу.
Упражнения
Убедиться, что следующие функции являются фурье-преобразо-ваниями друг друга:
1. /(*М
г ,/ 2 1
V 1Гуд- И<*>
О, |*|>а,
О \х\<с,
yha' и>а'
2. f(*) = j_^rJL _L . и "о(aMh
і/ л 1
3. у •
V^T2' ¦ ^o («I if I).
Как объяснить, что сюда не включена функция Io (ау)? Указание. Функции Jо, /V0 и Ко легко преобразуются с помощью преобразования Фурье (15,21), изменения порядка интегрирования и экспоненциального представления б-функции Дирака (см. разд. 15.6).590 г лай а 15. интегральные преобразования
15.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНОЙ
Запишем экспоненциальное преобразование Фурье функции f (.X)
OO
g(ffl) = IjT== J HxWdx (15.36)
и ее производной df(x)/dx
— OO
OO
—OO
1/2
Интегрируя (15.37) по частям, получаем
OO
<?, («,)=•/(*) /(x)e"«d*. (15.38)
1/2я 1/2зх J
1 -OO
Если f(x) обращается в нуль при то
fifi(©)= — io)g(to), (15.39)
т. е. преобразование производной равно преобразованию исходной функции, умноженному на (—ш). Этот результат легко обобщается на производную п-го порядка
(15.40)
поскольку f (х) = О при ЛГ-Ь ± OO.
Волновое уравнение. Рассмотрим колебание свободной бесконечно длинной струны. Амплитуда (малых) колебаний у удовлетворяет волновому уравнению
дх2 »2 ' а/2 '
(15.41)
Будем полагать, что в момент времени t = О
» = /(*)• (15.42)
Применим преобразование Фурье, которое означаем умножение на eia* и последующее интегрирование по х:
OO OO
J ^ie^^I J ^lebrfl (15.43)
-OO —0015.4. преобразование фурье производной 591
или
(15.44)
где
оо
Y (a, t) = -JL [ у (*, 0 eia*<fx. (15.45)
у 2л J
-OO
Здесь мы использовали уравнение (15.40). Проинтегрированная часть уравнения (15.38) обратилась в нуль, поскольку волна не успела еще распространиться на бесконечность. В уравнении (15.44) нет никаких производных по а, поэтому оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, в данном случае — уравнение линейного осциллятора. Рассмотренное преобразование, в результате которого дифференциальное уравнение в частных производных свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению, существенно упрощает задачу. Теперь остается решить уравнение (15.44) при соответствующих начальных условиях. Распространим на функцию (15.45) условие (15.42), соответствующее моменту / = 0, тогда
OO
У (a, 0)=-7= ( f(x)eiaxdx = F(а). (15.46)
у 2л J
-OO
Общее решение уравнения (15.44), записанное через экспоненту, имеет вид
К (a, t)=F(а)е±™*. (15.47)
Применим теперь формулу обращения (15.22)
OO
у (X1 Ц = J Y (a, t)e~^da (15.48)
— OO
и с учетом (15.47) окончательно получим
OO
у (X, О =-7= \ F И е_іа da• (15-49) V 2л J
— OO
Поскольку f (*) является обратным преобразованием Фурье функции F (а), то
у (x,t) = f(x + vt), (J5.50)>
592 глава 15. интегральные преобразования
что соответствует волнам, распространяющимся соответственно в -!-дг- и —^-направлениях.
В том случае, когда граничное условие соответствует условию (15.42), а также задано в виде ограничения, наложенного на производную dy/dt, решение представляет собой особую линейную комбинацию волн.
Упражнения
1. Одномерное уравнение возраста Ферми (оно описывает диффузию нейтронов, замедляющихся в некоторой среде, например графите)
Qiq -{Л Qq {%
имеет вид—~ д^-і гДе <7—число нейтронов, которые
при своем замедлении попадают в область энергии, лежащую ниже заданного значения (за одну секунду в единице объема); т—возраст Ферми, характеризующий потерю энергии. Получить решение этого уравнения, полагая, что q (де, 0) — So (х) соответствует плоскому источнику в точке х=0, который испускает в одну секунду 5 нейтронов с единицы поверхности. Указание. Вместо q(x, т) рассмотреть новую функцию