Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
—О, п — четное. (14.31)
Окончательно разложение исходной функции в ряд Фурье запишется так:
с, V h . 2А /sin X . sin Зх . sin5x , \ /1у| ооч
За исключением первого члена, который равен среднему значению функции / (х) на отрезке I—я, я1, все члены, содержащие cos пх, исчезли. Поскольку функция / (х) — —/г./2—нечетная, мы получили разложение Фурье по синусам. Несмотря на то что такой ряд содержит одни нечетные члены, величина их спадает только как п"1. Таким образом, свойства сходимости (или отсутствия сходимости) этого ряда такие же, как и у гармонического ряда. Физически это означает, что волна прямоугольной формы содержит очень большое количество высокочастотных компонент. Если электронная аппаратура пропускает эти компоненты, то входящая волна, которая имеет прямоугольную форму, на выходе окажется более или менее скругленной, а возможно, будет представлять собой бесформенный всплеск.
Двухполупериодный выпрямитель. Рассмотрим, каким образом переменный ток преобразуется двухполупериод-ным выпрямителем в почти постоянный ток. Через выпря- 568
глава 14. ряды фурье
митель могут проходить положительные пики начальной синусоидальной волны и ее инвертированные отрицательные пики:
{sin G)/, 0 < Cirf < я,
. , ^ .^n (14.33) — sinotf, — я<(^<0. v '
Из-за четности f (t) нельзя получить ни одного члена вида sin/Kitf. Из уравнений (14.11) и (14.12) имеем
о Я
а0 = -L j — sin (ot d (at) + -L j sin cot d (at) =
—я 0
я
= sin mt d (at) = -L , (14.34)
о
л 2 2
---5-Г » Я—ЧЄТНОЄ,
Jt л2—1 ' '
CLn==
л
О
j sin at cos nwt d (otf)
. 0, Al—нечетное.
(14.35)
Важно отметить, что отрезок [0, я] не является отрезком ортогональности, поэтому мы не получим нуля даже для четных я. Окончательно ряд запишется в виде
, , .V 2 4 cos mt
Zj ~W=T- (14.36)
п—2, 4, .. .
Основная частота ю не входит в это разложение. Самая низкая частота равна 2©. Все высокочастотные компоненты стремятся к нулю, как /г2, поэтому двухполупериодный выпрямитель очень хорош для получения постоянного тока. Степень спрямления тока определяется конкретными требованиями в каждом отдельном случае. Если оставшиеся высокочастотные компоненты все же нежелательны, их можно ликвидировать специальным фильтром.
Рассмотренные задачи иллюстрируют две особенности разложения Фурье.
1. Если функция I (х) разрывна [прямоугольная война (14.26)1, можно ожидать, что п-й коэффициент ряда пропорционален Hn (сравнительно медленная сходимость).
2. Если функция f (х) непрерывна (хотя возможны разрывы производных, как, например, в случае с двух- 14.2. применение рядов фурье
569
полупериодным выпрямителем, можно ожидать, что п-й коэффициент спадает, как Hn2.
Бесконечный ряд. Дзета-функция Римана. Рассмотрим теперь чисто математическую задачу разложения х2. Пусть
((X) = X21 —л<х<я. (14.37)
Вследствие симметрии все Ьп = 0. Для коэффициентов ап имеем
я
A0 = -L = (14.38)
-я
я
= j x'cosnxdx = -^ •(— = (—i)71-^- • (14.39) о
Отсюда следует, что
OO
*2 = f + 4 S (-Ifc-^- (14.40)
71=1
Очевидно, само по себе это разложение не особенно важно, однако если положить* л: = л; и учесть, что
cos шт = (— 1)п, (14.41)
то из уравнения (14.40) получаем
со
или
OO
X= 2-^(2)- (»4.43)
71=1
Разложение позволяет, таким образом, получить дзета-функцию Римана ? (2) в замкнутой форме. С помощью полученного разложения функции л'2, а также разложений других степеней X можно вычислять большое количество других бесконечных рядов. Несколько таких примеров приведено в конце главы.
* Заметим, что функция непрерывна в точке х = л- 571
ГЛАВА 14. РЯДЫ ФУРЬЕ
Упражнения
I. Разложить в ряд Фурье функцию
Isinwf, 0<G)f<Jt.
Сигнал такого вида формируется на выходе пол у период ного выпрямителя. Кроме того, эта функция приблизительно описывает солнечный тепловой эффект, вызванный «приливами» в атмосфере.
OO
1,1.,2 vi cos псо/
Ответ: ^ S Я2_і ¦
п=2, 4,6,...
2. Пилообразная функция задается условием f(x) — x, — л<
со
-і—-— sin ПХ. 1%
n—1
3. Функция, график которой имеет вид треугольника (рис. 14.3), задается так:
/W-I 0
I -п
О < X < я, <*<0.
Разложить f (*) в ряд Фурье.
г, ч я 4 vi cos пх Ответ: f(x)=T~ 2j "UT"'
n=l ,3,5,.,.
4. Получить фурье-разложение б-функции Дирака на отрезке — я<х<я. Какое значение имеет постоянный член? В какой области справедливо такое представление? 14.3. свойства рядов фурье
571
Б. а. Используя функцию f(x)=x2, заданную на интервале
(_1)п+1 П2
OO
I X j < Jtl показать, что 2j —^-=^J •
п= 1
б. Используя ряд Фурье, в который была разложена функция
OO
из упр. 3, показать, что ^ ^n-1)2 =Т '
W=I
в. Разлагая функцию f (X) = Xi1 заданную на интервале |х|<я, показать, что
V J___U^L-tm у (-1)^1
Zl /г4 90 ^ * ZJ * я* 720 '
n=l Tl= 1
г. Для функции
X (я — *), 0<дс<п, (їі-fx), — п<*<0
, . . 8 vi sin nx получить разложение /(*) = — 2j —j?— и показать, что
