Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Рассуждения, связанные с непрерывностью, отличаются наглядностью и часто столь хорошо поясняют суть дела, что представляется весьма заманчивым уметь превращать их в строгие доказательства, а тем более распространять аналогичные приемы на другие несравненно более сложные задачи.
Рис. 20.
Вот, например, рассуждение, поясняющее справедливость основной теоремы алгебры о том, что всякое уравнение
г» + (I1Zn 1 + a.2z"-2 + ... + a„_,z + ап = 0 (7)
имеет хотя бы один действительный или комплексный корень.
Пусть z — точки одной комплексной плоскости, a w=f(z) — соответствующие им точки другой комплексной плоскости w, причем /(z) обозначает левую часть уравнения (7). При z очень больших по абсолютной величине функция /(z) относительно мало отличается от z"; функция же Zn весьма проста. В частности, легко проверить, что если точка z, непрерывно двигаясь, опишет на комплексной плоскости окружность с центром в начале координат, то точка Wl = Zn ровно п раз обойдет аналогичную окружность радиуса |z|" на плоскости w1. Точка же
1 В самом деле, если z = р (cos 9 + г sin <р), то, как !"известно [см. главу IV (том 1), § 3], zn = р" (cos <рга -)- і sin <рл); поэтому, с изменением аргумента <р числа z от 0 до 27t, аргумент числа z" будет изменяться от 0 до 2тгл, т. е. идущий в точку г" радиус сделает при ее движении л полных оборотов.
9 Зак. № 812 130
1 лава XVII. Абстрактные пространства
w = f(z) опишет п петель, образующих какой-то контур Г, сравнительно близкий к линии, пройденной ТОЧКОЙ W1 = Zn (рис. 20).
Если теперь окружность, описываемую точкой z, непрерывно стягивать в одну точку, то и и раз запетленный контур Г, описываемый точкой v>=f(z), будет непрерывно деформироваться, также стягиваясь в точку. Но довольно очевидно, что он не может стянуться в точку, ни разу не пересекая при этом начало координат О, которое этот контур первоначально охватывал. Значит, он хотя бы раз пройдет через О, и при таком г будет u> = /(z) = 0. Это г и будет корнем уравнения (7). Собственно говоря, уже ясно, что корней в известном смысле должно быть именно п, так как каждая из п петель контура Г, стягиваясь, пересечет точку О.
Наше рассуждение требует, конечно, уточненного обоснования тех, как раз' топологических, свойств контура и его деформации, которыми мы здесь воспользовались.
Можно было бы привести много примеров использования топологических свойств в самых различных, порой весьма далеких от геометрии разделах математики.
При исследовании топологических свойств перед нами опять встает возможность мыслить себе отвлеченную совокупность объектов, обладающих вообще только такого рода свойствами (см. § 7 главы XX). Такую совокупность называют абстрактным топологическим пространством.
Эта точка зрения уже несравненно шире, чем исследование топологических свойств именно геометрических фигур. Топологические пространства могут быть весьма разные; скажем, все точки поверхности тора с пх общей закономерностью взаимного прилегания образуют одно топологическое пространство, все точки плоскости — другое, все эвклидово пространство— третье; все точки многолистных римановых поверхностей, о которых шла речь в главе IX (том 2), § 5, посвященной теории функций комплексного переменного, образуют другие, притом разные, топологические пространства. Но замечательнее всего, что между объектами, далеко не похожими на наше представление о геометрических точках, часто ясно устанавливается понятие близости и прилегания. Скажем, для всевозможных положений какого-нибудь шарнирного механизма можно ясно указать, что значит «близкие» положения, что значит одно положение «прилегает» к бесконечной серии других, среди которых есть положения, сколь угодно близкие к данному.
Мы видим, что понятие топологического пространства является чрезвычайно общим. В этой связи мы еще раз вернемся к нему в § 8.
Целью этого параграфа было не столько дать читателю представление о разных геометриях, сколько стремление показать, что самые конкретные задачи приводят к выделению и исследованию отдельных групп геометрических свойств; что их исследование влечет за собой создание представления об отвлеченных геометрических объектах, § 7. Многомерное пространство
131
обладающих только этими свойствами, т. е. что выделение этих свойств в их чистом виде приводит нас к представлению о соответствующем абстрактном пространстве.
О других путях, также приводящих к построению разного рода абстрактных пространств, будет идти речь в следующих параграфах.
§ 7. многомерное пространство
I. Важным этапом в развитии новых геометрических идей было создание геометрии многомерного пространства, о котором уже шла речь в предыдущей главе. Одной из причин ее возникновения служило стремление использовать геометрические соображения при решении вопросов алгебры и анализа. Геометрический подход к решению аналитических вопросов основан на методе координат. Приведем простой пример.
Требуется узнать, сколько целочисл енвых решений имеет неравенство Z2 у2 N. Рассматривая х и г/ как декартовы координаты на плоскости, видим, что вопрос сводится к следующему: сколько точек с I IiilL целочисленными координатами содержится внутри круга радиуса ^N. '
