Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Точки с целочисленными координата- _Li
ми — это вершины квадратов со стороной единичной длины, покрываюших ~г~~
плоскость (рис. 21). Число таких точек _L-
внутри круга приближенно равно числу квадратов, лежащих внутри круга, —ГТ т. е. приблизительно равно площади _L-круга радиуса ^ffim Таким образом, _ I интересующее нас число решений неравенства приближенно равно t:N. При
Рис. 21.
этом нетрудно доказать, что допускаемая здесь относительная ошибка стремится к нулю при N-*-oo. Более точное исследование этой погрешности представляет собой весьма трудную задачу теории чисел, служившую в сравнительно недавнее время предметом глубоких исследований.
В разобранном примере оказалось достаточным перевести задачу на геометрический язык, чтобы сразу получить результат, далеко не очевидный с точки зрения «чистой алгебры». Совершенно так же решается аналогичная задача для неравенства с тремя неизвестными. Однако, если неизвестных более трех, этот метод не удается применить, поскольку наше пространство ,трехмерно, т. е. положение точки в нем определяется тремя координатами. Для сохранения полезной геометрической аналогии в подобных случаях вводят представление об абстрактном 132
1 лава XVII. Абстрактные пространства
««-мерном пространстве», точки которого определяются п координатами JC1, х2, ..., хп. При этом основные понятия геометрии обобщаются таким образом, что геометрические соображения оказываются применимыми к решению задач с п переменными; это сильно облегчает нахождение результатов. Возможность такого обобщения основапа на единстве алгебраических закономерностей, в силу которого многие задачи решаются совершенно единообразно при любом числе переменных. Это позволяет применять геометрические соображения, действующие при трех переменных, к любому их числу.
2. Зачатки понятия о четырехмерном пространстве встречаются еще у Лагранжа, который в своих работах по механике рассматривал время формально как «четвертую координату» наряду с тремя пространственными. Но первое систематическое изложение начал многомерной геометрии было дано в 1844 г. немецким математиком Грассманом и независимо от него англичанином Кэли. Они шли при этом путем формальной аналогии с обычной аналитической геометрией. Эта аналогия в современном изложении выглядит в общих чертах следующим образом.
Точка в и-мерном пространстве определяется п координатами
X1, X2.....хп. Фигура в и-мерном пространстве — это геометрическое
место, или множество точек, удовлетворяющих тем или иным условиям. Например, «и-мерный куб» определяется как геометрическое место точек, координаты которых подчинены неравенствам: a ^ Xt ^.Ъ (i = 1, 2,..., п). Аналогия с обычным кубом здесь совершенно прозрачна: в случае, когда п = 3, т. е. пространство трехмерно, наши неравенства действительно определяют куб, ребра которого параллельны осям координат и длина ребер равна Ь — а (на рис. 22 изображен случай а = О, 6 = 1).
Расстояние между двумя точками можно определить как корень квадратный из суммы квадратов разностей координат
d=VVi- x7f + К - Kf +•¦• + «-
Это представляет собой прямое обобщение известной формулы для расстояния на плоскости или в трехмерном пространстве, т. е. при п = 2 или 3.
Теперь можно определить в и-мерном пространстве равенство фигур. Две фигуры считаются равными, если между их точками можно уста-нойить такое соответствие, при котором-расстояния между парами соответственных точек равны. Преобразование, сохраняющее расстояния, можно назвать обобщенным движением1. Тогда по аналогии с обычной
1 Обобщение состоит не только в переходе к п измерениям, но также в том, что к движениям присоединяется еще отражение в плоскости, так как оно тоже не изменяет расстояний между точками. § 7. Многомерное пространство
133:
эвклидовой геометриеи можно сказать, что предмет и-мернои геометрии составляют свойства фигур, сохраняющиеся при обобщенных движениях. Это определение предмета и-мерной геометрии было установлено в 70-х годах и дало точную основу для ее разработки. С тех пор. n-мерная геометрия служит предметом многочисленных исследований во всех направлениях, аналогичных направлениям эвклидовой геометрии (элементарная геометрия, общая теория кривых и т. п.).
Понятие расстояния между точками позволяет перенести на п-мер-ное пространство также другие понятия геометрии, такие как отрезок, шар, длина, угол, объем и т. п. Например, и-мерный шар определяется как множество точек, удаленных от данной не больше, чем на данное R. Поэтому аналитически шар задается неравенством
(X1 - CL1Y + ••• + (*¦- anf < Я2,
где O1,..., ап — координаты его центра. Поверхность шара задается уравнением
(X1-O1Y+ .-{-(xu-a„r- = R2.
х,
^x1
Рис. 22.
Отрезок AB можно определить как множество таких точек X, что сумма расстояний от X до А и В равна
расстоянию от А до В. (Длина отрезка есть расстояние между его концами.)
3. Остановимся несколько подробнее на плоскостях различного числа измерений.
В трехмерном пространстве таковыми являются одномерные «плоскости»— прямые и обычные (двумерные) плоскости. В n-мерном пространстве при 3 вводятся в рассмотрение еще многомерные плоскости числа измерений от 3 до л — 1.
