Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 лава XVII. Абстрактные пространства
стороне,-мы зачертим трехмерный куб (рис. 23, б). Чтобы получить четырехмерный куб, применяем то же построение: взяв в четырехмерном пространстве трехмерную плоскость и в ней трехмерный куб, двигаем его в направлении, перпендикулярном этой трехмерной плоскости, на расстояние, равное ребру (по определению прямая перпендикулярна А-мер-ной плоскости, если она перпендикулярна всякой прямой, лежащей в этой плоскости). Это построение условно представлено на рис. 23, в, Здесь изображено два трехмерных куба Q и Q' — данный куб в первоначальном и конечном положении. Линии, соединяющие вершины этих кубов, изображают те отрезки, по которым двигаются вершины при
перемещении куба. Мы видим, что четырехмерный куб имеет всего 16 вершин: восемь у куба Q и восемь у куба Q'. Далее, он имеет 32 ребр»: 12 ребер передвигаемого трехмерного куба в начальном положении Q1 12 ребер его в конечном положении Q' и 8 «боковых» ребер. Он имееі 8 трехмерных граней, которые сами являются кубами. При движенга трехмерного куба каждая его грань зачерчивает трехмерный куб, так что получается 6 кубов — боковых граней четырехмерного куба, и, кроме того, имеются еще две грани: «передняя» и «задняя», соответственно перво начальному и конечному положению передвигаемого куба. Наконец, четырехмерный куб имеет еще двумерные квадратные грани общим чио лом 24: по шести у кубов Q и Q', и еще 12 квадратов, которые зачерчу вают ребра куба Q при его перемещении.
Итак, четырехмерный куб имеет 8 трехмерных граней, 24 двумерных грани, 32 одномерных грани (32 ребра) и, наконец, 16 вершин; кажда» грань есть «куб» соответствующего числа измерений: трехмерный куб, квадрат, отрезок, вершина (ее можно считать нульмерным кубом).
Аналогично, перемещая четырехмерный куб «в пятое измерение», яолучим пятимерный куб, и так, повторяя это построение, можно по-строить куб любого, числа измерений. Все грани n-мерного куба самі
ґф
Рис. 23. § 7. Многомерное пространство
139
являются кубами меньшего числа измерений: (п — 1)-мерные, (п — 2)-мер-ные и т. д. и, наконец, одномерные, т. е. ребра. Любопытной и нетрудной задачей является найти, сколько граней каждого числа измерений вмеет и-мерный куб. Легко убедиться, что он имеет In штук (п — ^-мерных граней и 2я вершин. А сколько будет, например, ребер?
Рассмотрим еще один многогранник га-мерного пространства. На плоскости простейшим многоугольником является треугольник — он имеет наименьшее возможное число вершин. Чтобы получить многогранник ¦с наименьшим числом вершин, достаточно взять точку, не лежащую в плоскости треугольника, и соединить ее отрезками с каждой точкой этого треугольника. Полученные отрезки заполнят трехгранную пирамиду —
тетраэдр (рис. 24). Чтобы получить простейший многогранник в четырехмерном пространстве, рассуждаем так. Берем какую-нибудь трехмерную плоскость и в ней некоторый тетраэдр Т. Затем, взяв точку, не лежащую в данной трехмерной плоскости, соединяем ее отрезками со всеми точками тетраэдра Т. На самом правом из рис. 24 условно изображено это построение. Каждый из отрезков, соединяющих точку О с точкой тетраэдра Т, не имеет с тетраэдром других общих точек, так как в противном случае он целиком помещался бы в трехмерном пространстве, содержащем Т. Все такие отрезки как бы «идут в четвертое измерение». Они заполняют простейший четырехмерный многогранник — так называемый четырехмерный симплекс. Его трехмерные грани суть тетраэдры: один в основании и еще 4 боковых грани, опирающиеся на двумерные грани основания; всего 5 граней. Его двумерные грани — треугольники; их всего 10: четыре у основания и шесть боковых. Наконец, он имеет 10 ребер и 5 вершин.
Повторяя такое же построение для любого числа п измерений, получим простейший и-мерный многогранник — так называемый п-мерный симплекс. Как видно из построения, он. имеет «+1 вершину. Можно убедиться, что все его грани тоже являются симплексами меньшего числа измерений: (га — 1)-мерные, (п—2)-мерные и т. д.1
О
Рис. 24.
1 Любые т вершин симплекса определяют «натянутый на них» (т — 1)-мерный 140
1 лава XVII. Абстрактные пространства
Рис. 25.
Легко также обобщить понятия призмы и пирамиды. Если мы будем параллельно переносить многоугольник из плоскости в третье измерение, то он зачертит призму. Аналогично, перенося трехмерный мпогоТранник
в четвертое измерение, получим четырехмерную призму (условно это изображено на рис. 25). Четырехмерный куб есть, очевидно, частный случай призмы.
Пирамида строится следующим образом. Берется многоугольник Q в точка О, не лежащая в плоскости многоугольника. Каждая точка многоугольника Q соединяется отрезкомс точкой О и эти отрезки заполняют пирамиду с основанием Q (рис. 26). Аналогично, если в четырехмерном пространстве дан трехмерный многогранник Q и точка О, не лежащая с ним в одной трехмерной плоскости, то отрезки, соединяющие точки многогранника Q с точкой О, заполняют четырехмерную пирамиду с основанием Q. Четырехмерный симплекс есть не что иное, как пирамида с тетраэдром в основании.
