Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Александров А.Д. -> "Математика ее содержание, методы и значение Том 3" -> 56

Математика ее содержание, методы и значение Том 3 - Александров А.Д.

Александров А.Д. Математика ее содержание, методы и значение Том 3 — М.: Академия наук , 1956. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): matemateesoderjanieiznacheniet31956.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 145 >> Следующая


Как известно, в трехмерном пространстве плоскость задается одним линейным уравнением, а прямая — двумя такими уравнениями.

Путем прямого обобщения приходим к следующему определению: к-мерной плоскостью в и-мерном пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют системе п — ft линейных уравнений

aHxI + а12Х2 + • ¦ • + «lA + Ьг = О,

а21Х1 "І" а22ж2 4" • * • 4" aVnxH 4Л=о.

(8)

+ ,2? 4 •. . . + пхп + Ь* =¦ °> 184

1 лава XVII. Абстрактные пространства

причем уравнения совместны и независимы (т. е. ни одно из них не является следствием других). Каждое из этих уравнений представляет («— 1)-мерную плоскость, а все они вместе определяют общие точки п — к таких плоскостей.

То, что уравнения (8) совместны, означает, что вообще есть точки, им удовлетворяющие, т. е. п — к данных (п — 1)-мерных плоскостей пересекаются. То, что ни одно уравнение не является следствием других, означает, что ни одно из них нельзя исключить. Иначе система сводилась бы к меньшему числу уравнений и определяла бы плоскость большего числа измерений. Таким образом, говоря геометрически, дело сводится к тому, что /с-мерная плоскость определяется как пересечение п—к шгук (п — 1)-мерных плоскостей, представляемых независимыми уравнениями. В частности, если & = 1, то имеем п — 1 уравнений, которые определяют «одномерную плоскость», т. е. прямую. Таким образом, данное определение А-мерной плоскости представляет естественное формальное обобщение известных результатов аналитической геометрии. Польза этого обобщения обнаруживается уже в том, что выводы, касающиеся систем линейных уравнений, получают геометрическое истолкование, которое делает эти выводы более ясными. G таким геометрическим подходом к вопросам линейной алгебры читатель мог ознакомиться в главе XVI.

Важным свойством /е-мерной плоскости является то, что она может рассматриваться сама как ^-мерное пространство. Так, например, трехмерная плоскость сама есть обычное трехмерное пространство. Это дает возможность переносить на пространства высшего числа измерений многие выводы, полученные для пространств низшего числа измерений, подобно обычным рассуждениям от П К «--)-1.

Если уравнения (8) совместны и независимы, то, как доказывается в алгебре, из п переменных Xi можно выбрать к так, что остальные п — к переменных можно через них выразить1. Например:

xk+1 = CuX1 -j- C12X2 I - - . I ClkXk -j- rfj,

Хк+ 2 == ^22Х2 • • • кХк "Ь

Хп =-= Си—к, 1Х\ + си-*, гхг + • • • + cU-I-,кхк + d*-

Здесь X1, х2, ..., хк могут принимать любые значения, а остальные Xi через них определяются. Это значит, что положение точки на А-мерной плоскости определяется уже к координатами, могущими принимать любые значения. Именно в этом смысле плоскость имеет к измерений.

1 Эти к переменных из Xi, вообгдо говоря, нельзя выбирать произвольно. Например, из системы X1 -j- х2 + X3 = О, X1 — X2 — X3 — 0 значение xj определяется однозначно: X1 = O, и через него X2 и х3, очевидно, нельзя выразить. Утверждается, однако, что необходимые к из Xi всегда можно выбрать. § 7. Многомерное пространство

135

Из определения плоскостей разного числа измерений можно чисто алгебраически вывести следующие основные теоремы.

1) Через каждые A-f-l точку, не лежащую на одной (к — 1)-мерной плоскости, проходит А-мерная плоскость и притом только одна.

Полная аналогия с известными фактами элементарной геометрии здесь очевидна. Доказательство этой теоремы опирается на теорию систем линейных уравнений и несколько сложно, так что мы не будем «го излагать.

2) Если /-мерная и ^-мерная плоскости в и-мерном пространстве имеют хотя бы одну общую точку и при этом /-|- к ^ п, то они пересекаются по плоскости размерности не меньшей, чем I-\-к — п.

Как частный случай отсюда вытекает, что две двумерные плоскости в трехмерном пространстве, если они не совпадают и не параллельны, пересекаются по прямой (п = 3, / = 2, к = 2, l-\-k — п = 1). Но уже в четырехмерном пространстве две двумерных плоскости могут иметь единственную общую точку. Например, плоскости, задаваемые системами уравнений:

очевидно, пересекаются в единственной точке с координатами ^1=O, я2 = 0, х3 = 0, Xi = O.

Доказательство сформулированной теоремы чрезвычайно просто: ¦/-мерная плоскость задается п — / уравнениями; А-мерная задается л — к уравнениями; координаты точек пересечения должны удовлетворять одновременно всем (и — /)-|-(и— к) = п — (1-\-к — и) уравнениям. Если ни одно уравнение не является следствием остальных, то по самому ¦определению плоскости в пересечении имеем (/ к — и)-мерную плоскость; в противном случае получается плоскость большего числа измерений.

К двум указанным теоремам можно добавить еще две.

3) На каждой /е-мерной плоскости есть по крайней мере А: —|— 1 точек, не лежащих в плоскости меньшего числа измерений. В и-мерном пространстве есть по крайней мере п-1 точек, не лежащих ни в какой плоскости.

4) Если прямая имеет с плоскостью (любого числа измерений) две общие точки, то она целиком лежит в этой плоскости. Вообще, если Z-мерная плоскость имеет с fe-мерной плоскостью I1 общих точек, не лежащих в (/ — 1)-мерной плоскости, то она целиком лежит в этой /с-мерной плоскости.
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 145 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed