Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. Вычислить Ща, 5) для а — 5, б, 7,.... используя 19.6.4.
+ f7O +Ux) + xU(a, х) - U(a = 0.
й Рекуррентная формула Рекуррентная формула Окончательные значения
«вперед» «назад»
3 (- 6) 5.2847») (12)1.59035 (- 6)5.2847»*)
4 (- 7) 9.172») (11)2.76028 (- 7)9.1724
5 (- 7) 1.5527 (10)4.67131 (- 7)1.55227 ,
6 (- 8) 2.5609 (9)7.72041 (- 8)2.5655
7 (- 9) 4.1885 (9)1.24785 (- 9)4.1466
8 (-10) 6.2220 (8)1.97488 (-10)6.5625
9 (-10)-4.2676 (7)3.06369 (-10)1.01806
10 (-11)-0.1221 (6)4.66352 (-11)1.5497
11 12 (-11) + 1.2654 (0) 697082 (-12)2.3164
(-12)-5.6079 102444 (-13)3.404
13 (-12)+3.2555 14789 (-14)4.91
14 2111 (-15)7.01
15 292 (-16)9.7
16 42
17 5
18 !•••)
19 О»»*)
*) Из таблиц.
**) Это значение было использовано для полу-
d (—6) 5.2847
чения постоянного множителя- =S
к« (12) 1.59035
= (- [8) 3.32298 для обращения предыдущего столбца
в данный.
** *) Начальные значения. 510
19. функции параболического цилиндра
Рекуррентная формула «вперед» (см. второй столбец) начинается со значений при а— 3 и а = 4, взятых из табл. 19.1. Рекуррентная формула «назад» начинается со значений О и 1 при д = 19нд = 18.
Данные третьего столбца UUi., х) пропорцноналыгы значениям функции U(a, х). Коэффициент пропорциональности зависит от выбора начальных значений и от сшибьи округления. Величина 1 і квычисляется г.ссредстном деления известного значения UQ, 5) на значение U(3, 5). Умножая на эту велншшу числа третьего столбца, получаем соответствующие значения Ufa, л), помешенные в четвертом столбце. Сравнивая с табличным (из табл. 19.1) значения U(5, 5) из второго и четвертого столбцов, убеждаемся, что последнее точнее.
Так как функции U(a, х), V(а, .ї) и W(a, х) удезлетво-ряют дифференциальным уравнениям, часто бывают нужны значения их производных.
Производные. Но здесь производные не табулированы.
Для всех функций уравнения имеют второй порядок, в них отсутствуют первые производные, поэтому вторые производные можно легко получить по значениям самой функции.
Первые производные для V(a, х) и У (о, У) можно получить при помощи рекуррентных соотношений 19.6.1, 19.6.2, Если не нужна ббльшая точность, то их можно найти при помощи средних центральных разностей функций U(а, х), V(а, х) и fV(a, х) по формуле
hu' = h — = n&u - - + - -.... dx б 30
где A = 0.1. По этой формуле обычно можно получить значение duIdx с 3 -- 4 значащими цифрами.
Если производная dW(ax)!dx требуется с большей точностью, то можно сначала вычислить UiWldxi при помощи дифференциального уравнения, которому удовлетворяет W, а затем численно проинтегрировать эту вторую производную. При этом потребуется одно точное значение производной dWjdx, чтобы использовать его в качестве исходного при интегрировании. Опишем два метода получения этого значетптя. Оба метода основаны на использовании разности между двумя довольно отдаленными значениями IV, например, отстоящими друг Oi цруга на 5 или 10 табличных шагов.
(1) Обозначая W(a, л0 + rh) и первые две ее производные соответственно через fr ,fr, ff', найдем f'c по формуле
W.-f (/» -/-») - ~ ? (и - г) (77-Г~г) -2п 2п
- ^il _ J- Ss + -U- S4 -...1CA' — /И») —
2п\12 240 60480 J
_ й» /1 Jjl8 _ il fxS» + J^L JJ1S5 Xf9'. 112 720 60 480 J
(2) Рассмотрим решение у дифференциального уравнения для f?(в, х), а именно уравнения у" = |
Если заданы значения у в у' при х — то, полагая Ta — v<*)
= Hn -—» Г-j = T-г = 0, можем вычислить последо-и!
вательно Ti, Tz, Tit... при пемоши рекуррентного соотношения, полученного из этого дифференциального уравнения:
(n + 1) (n + 2) Ll 4 j
- - Hx0Tn-1 - - ff*T«-2] • 2 4 J
Эти значения вычисляются с фиксированным числом десятичных знаков. Вычисления прекращаются, когда величиной T71 уже можно пренебречь. Получим
У(Хо ± Я) - T0 ± Tl + Tt ± T8 + ...
Пусть H ^ rh, h — табличный шаг, г — небольшое число, например, г = 5. Применим полученную формулу к решениям у ~ Уъ У ~ Уг".
Jt1(X0) = W(a, X0), Jf1(X0) = W*'{a, хо),
Уг(хъ) = 0, = 1,
где W*'(a, дг0) есть приближенное значение WCalX0), не обязательно достаточно хорошее, полученное, например, при помощи разностей. Таким образом, получаем JV1Otn ±Н) и Уі(х0 ± Я). Предположим теперь, что
W'(a, х0) = W*'(a, хо) + X;
тогда для всех х имеем
W(a, х) - Уі(х) + Xja(х)
Е, в частности,
Ща, Xfi ± Я) = У1(х<> ± Я) + ± Я).
Значения IV(a, х0 ± Н) можно получить из таблиц и вычислить ?. двумя независимыми способами. Тогда мы получим с достаточной точностью
W\a, хо) = W*\a, х0) 4- I.
Пример 2. Вычислить W'(— 3,1) при г = 5. В табл. 19.2 находим W(-3, 0.5) - - 0.05857, FF(-3,1) = W —0.61113, W(-3,1.5) - —0.69502. (1) Применим первый метод.
- Wi-3, A-) W'i—3. ж) 8 5" Sa
0.4 + 0.07298 -0.22186
0.5 -0.05857 +0.17937 + 131
0.6 -0.18832 0.58191
0.7 -0.31226 0.97503
0.8 -0.42646 1.34761 34081
0.9 -0.52722 1.68842 29775 —1095
1.0 -0.61113 1.98617 24374 —1032
1.1 -0.67522 2.22991 17941
1.2 -0.71706 2.40932
