Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
19. функции параболического цилиндра
Аі(г), то приближенное значение соответствующего нуля с функции U(а, х) можно получить из уравнения
19.26.3. &3 = 1 {arccos \ - \ VfzT) = a^ .
4 6 |о|
с = 2 Vі oI \> o<|0.
Для этого нужно использовать табл. 19.3, считая аргументом. Для вычисления нуля функции Via, л-) нужно заменить а-п на нуль Ь„ функции Bi(f). Более подробно об этом см. в [19.5].
Решения fV(ег,х), W(а,—л") уравнения 19.1.3 имеют нули при І я I >2 'Ja, когда а положительно, однако общее решение может иметь один простой нуль между—2 *Ja и •| 2 л]{/. Если о отрицательно, то расположение нулей ее ограничивается какими-либо условиями.
Приближения для нулей можно получить обращением рядов для ф (или х) из 19.24. Пусть—а = р2, « =
есть нечетное
целое число для Wia, х) или ее производной и четное целое для Wia,—.Vj или ее производной. Тогда нули ±с, +с' вычисляются из разложений
19.26.4. с X -
2и3
-За 52а5 —240а3 4-315«
T- + -ГХ^- +
19.26.5. с' Rz — —
P
тор'
? 2g' + 3? 52?!1 t-280?3-285?
7680j>"
Если X велико, а принимает умеренные значения, то можно обратить ряды 19.24.4 или 19.24.6, полагая а =
— — I /-TT — — — Фз| ' ? = — im+ — — Фг . г — нечетное 2 { 2 ) 2( 2 ] или четное, как и выше. Наличие в этих рядах члена с логарифмом делает их неудобными для формального обращения.
Если X находится в окрестности точки 2«j\a\, то разложения 19.26.4 и 19.26.5 не годятся.
Если а положительно, то нуль с функции W(а, — л) можно получить приближенно, решая уравнение
19.26.6. »з = — V^ - I - Arch 1} 4
6а
с = 2 VeS (а 0)
при помощи табл. 19.3. Для нахождения ттуля фуіпсции, Wia, х) нужно заменить ап через Ъп, Если а отрицательно, то можно решить, опять при помощи табл. 19.3, уравнение
_ (,-!)«
19.26.7. S1 = 1 Ц 4V- -I- 1 -I- Arsh б} = і-U— .
4 4J л I
с = 2 VTaIS (-» » 0),
где п = 1,2,... для приближенного нуля функции Wia,—х) Kn = 1/2, 3/2, 5/2,... для приближенного нуля функции Wia, х). Более подробно об этом см. в [19.5].
Любое из полученных выше приближений для нулей можно улучшить следующим образом.
Пусть с — нуль функции у, ас' — нуль функции У, где у есть решение уравнения
19.26.8. у" -Iy = 0.
Здесь I = а ± *э/4, Г — ±ХІ2, Iя = ±1/2: но метод является обши.м и можно использовать следующие формулы всегда, когда Г' = 0. Ecjm у, Y — приближения для нулей с, с и
J(Y)
/(T')
/(Y) /MY') где / s /(у) или I = I(Y) соответственно, то
19.26.10. с ~ у - и - — Iif + - /'ц4 -3 12
-[-I' + - /«) и5 + -Wif + ..., І60 5 I 90
1. у'(с) ~ /Cr) Il-- Iu'+ - /V -1 2 6
-f- г + - я] и'+ -Iiv+ Л.
(.24 8 J 60 J
19.26.12. с' ~ т' - Iv - — Irvt + 2
+ ІІІЧ" - - II"- - Iі) V3 +
U 2 З I
+ (- IHT - - ІГ3 - - /'/'] V1 + ....
I12 8 12 J
19.26.13. у(с')~
~ AY) |l ~\tV~\ ~
_ fi /V" - - /'/" + - /') v' + ...1. 18 24 8 J I
В случае необходимости процесс можно повторять, используя каждый раз подходящее количество членов. Приведем некоторые соотношения для нулей:
19.26.14. U'ia, с) = -
IL
V(a, с)
гТ
19.26.15. V'ia, с') г-
Via, с')
19.26.16. Wia, с) = -
19.26.17. W(a, с')
1
Ща, -с) 1
(а,-С) пришры
509
19.27. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПОРЯДКОВ ±1/4, ±3/4 КАК ФУНКЦИИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
Многие приложения этих функций относятся к случаям, когда функции параболического цилиндра являются более подходящими. Имеем
19.27.1.
19.27.2. J±m
fx') 2'"
'UJ- V«
l:c \ -2'"
I 4 J X д/тас
0, х)1,
{№(0, х)±Щ0, -х)}.
Функции других порядков можно получить при помощи рекуррентного соотношения 10.1.22, которое случае принимает вид
19.27.3. - 7,
4
Далее,
19.27.4./-,,(? + ПО, А
ЩО, х),
ПО, х).
__2_
Vto
19.27.7. = .?)-/„.?)-
4 d
---р= т- *>¦
X ^KX ах
Как и выше, функции Бесселя других порядков можно получить, используя рекуррентное соотношение 10.2.23, которое в данном случае записывается в виде
"^.»ft-HSM'-?)-*
ПРИМЕРЫ
Значения Ufa, х), V(а, л) и W(a, .г) интерполировавшем во х при помощи 5- или 6-точечной интерполяционной формулы Лагранжа можно почти всюду получить с пятью знаками. При \ а\ 1 при помощи 5- или 6-точечиой интерполяции по переменной а можно получить точность примерно такого же порядка.
При \а\ >1 значения U(a,x)vL У(а,х) можно получить по рекуррентным формулам, исходя из двух начальных значений, найденных при помощи интерполирования при |aj =S 1. Для функции W(a, ±дг) такой метод неприменим при Ial >1.
В тех случаях, когда непосредственное использование рекуррентных формул для возрастающих значений переменной а (рекуррентный процесс «вперед») не позволяет получить результат с достаточной точностью, обычно можно достичь большей точности, используя ту же рекуррентную формулу в обратном направлении («назад»)-В этом случае процесс начинают с произвольных начальных значений (чаше всего 1 и 0) для двух значений а, больших искомого значения.
Рекуррентное соотношение является линейным однородным разностным уравнением второго порядка, которое имеет два линейно независимых решения. Если при изменении а искомое решение убывает, в то время как другое решение возрастает, то в убывающем решении происходит потеря точности из-за накопления ошибки округления. Переменой направления изменении можно поменять ролями эти два решения, чтобы искомое решение возрастало, а ненужное решение убывало. Начиная достаточно далеко от последнего значения а, для которого вычисляется функция, ненужным решением можно пренебречь. Однако из-за произвольности начальных значений мы получим искомое решение с точностью до неизвестного множителя. Вычисления проводятся до тех значений а, у которых | а | $ 1, когда можно будет определить этот множитель достаточно точно (см. также 9.12, пример 1).
