Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
-(M)
В хорошо известных обозначениях Уиттекера (o„(xj) имеем
19.3.7. U(a, х) = D.e-уЛх),
19.3.8. V(a, x) =
= - Г + j (sin ти) P-i,j(x) + 0-»-i,«(-Jt)J •
IM)
19.4. ВРОНСКИАН И ДРУГИЕ СООТНОШЕНИЯ
19.4.1. W{U, Г} = Щ-,
19.4.2. тіV(a, х) =
-Г + а J {(sin па) U(а, х) + Ща, -*)}.
19.4.3. Г I" + aj U(a, х) =
~ 7t(seca 7Гй){К(й, — х) — (sin Tto) К(ії, л)}.
ІНН^І
¦- 2 J^sin Tt Ji + I Jj Y1 - U(a, x) + Ща, -x).
!(НИМ
V- 2"'"'*
2 Jeos Tt Jl + ?Jj Ki = (/(а, *) - СЦа, -х).
19>1.6. V2itE/(-o, ±ix) = Г J-i + aj X
X {<г"Ч=«-і>І»іУ(а, + ?'"('"-')41/(0, Tl)). 19.4.7. V2iC'(o, ±*) = Г Ji - aj X
X {«-'"(»+'!'«!/(-a, ±/*) + e«(»*+1)"i7(-a, Ti*)}.
19.5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Подробное исследование см. в [19.11], п. 4. Здесь приведены интегральные представления только для '-/(Vi, z). Другие представления можно получить при помощи соотношений из 19.4.
rfi-al
19.5.1. U(a, z) = —u-і s-"'4 C ^
2 Tti J
. er-""/« Г с«- SW-^Vs.
19.5.2. №, z) =
rfl -а)
AA-L + I)"-'" dt.
2 Tti J
( И P — контуры, изображенные на рис. 19.1 и 19.2. 19.2—19.15. решения уравнения - *« + aj у - о
497
S-плоскость
t ^плоскость
Ряс. 19.2.
— 71 < arg (z + t) < тт. Когда а + 1/2 принимает целые положительные значения, эти интегралы не имеют смысла; в этом случае
19.5.3. U (а, і)
(И
4. V(u, z) = -,і- C-"'' { S-'-"' ds.
уіІПІ J
19.5.5. U(a,z) 19.5.6? Ufa, Ї)
¦J2iti
VS
'S'
гЧ
e, ea и e4 показаны на рис. 19.3 и 19.4.
Ъ-п/госкошо
Рис. 19.3. - я/2 < arg s < тг/2.
19.5.7. Ща, z) =
г(7-т)
Y-I
20/243/1^(
19.5.13. U(a,z) = -
Ряс. 19.4. На ?з я/2 < arg л < Зтг/2. На S1 -Зп/2 < args< -я/2.
e"'*(l + - dt.
19.5.8. U(a, z) Г
U_u_ Cier (і
і З 2 I А
2»"«" it і
19.5.9. І/(<7, г) =
,rfi-u)
, U 2^ f і
2'/'Wk J 2 тії
19.5.10. t/(«, г) =
.-(I-!)
/4(1 + 0"a/8-3/4(l - t)a/z-Ui dt.
Ґ (z2 \-a/8-lM /,а ча/ї-1/4
Ит H fr-')
Контур Ci таков, что (г2/4 4- v) изменяется от еое~<л до <x>etni при этом точка v = z2/4 остается вне контура. Функция (z2/4 — v)-a'2"3M принимает свое главное значение.
Аналогично, контур % таков, что (zs/4 — v) изменяется от ссеіл до мг'"; при этом точка v = —z2/4 остается в области, расположенной вне этого контура1).
Контуры (C1) н (Tj1) получаются из C1 и % при помощи замены V = Z2?/4.
Выражения 19.5.7 и 19.5.8 теряют смысл при а = 3/2, 7/2, 11/2,... ; для этих значений имеем
19.5.11. Ща, z) * 1
IM)
-»¦л ^rt.,
И-а/«(гї + 2sy"-3" ds.
Выражения 19.5.9 и 19.5.10 также теряют смысл при а = = 1/2, 5/2, 9/2,... ; для этих значений имеем
19.5.12. U(а, х) =
__1
^ rt»/«/«(2! + 2s)-'"-1« d
Интегралы типа Барыса Г(І)Г [у + " - 2sj
2 W
Ii+')
(Jlzfs ds (I arg z I < 3 n/4),
контур отделяет нули функции Г(ї) OT нулей функции Г (а +і — 2sj Аналогично,
+ сCi r(s)r|i - е-
19.5.14. Kh.)- $
'(H
(V2r)M cos STI Jf (I arg г ] < я/4).
Рисунки этих контуров см. в [19.11]. (Прим. перев.)
32 — под ред. В. А. Днткана, Л. Н. Кармазиной 498
19. функции параболического цилиндра
19.6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
19.6.1. U'(a,x) + — Ща, х) +
К)
-t7(o + 1,х) = 0.
19.6.2. U'(a, х) - -j Ща, х) + Ща - 1, х) = 0.
19.6.3. 2t/'(o,x) + Що - 1,х) + (о + Ij ?7(o+l,x)=0.
19.6.4. xVia, x) - Що - 1, x)+(a + Ij ?7(0+1,x)-0. Этим же соотношениям удовлетворяет функция
T\^~a\v(a, х).
19.6.5. V'(a, х) - - V(a,
г
V(? - l,i)-0.
19.6.6. V'(a, х) + — V(a, х) - V(a + 1, х) - 0. 2
19.6.7. 2V\a, x)-V(a + 1, x) -(о - I jK(a - 1, x)=0.
19.6.8. x) - V(a + 1, x)+(a - Ijr(a-I, x)=0.
Эти же соотношения справедлиЕЫ и для функции
U(a, X)/Г (-J-<>}•
19.6.9. й(о, х) + і j>,(a, х) = (о + IJ у„(о + 1, х).
19.6.10. /,(а, х) - j,(o, х) = (а - Ij ja(a - 1, х).
19.6.11. ji(o, х) + - х) = Ma + 1, х).
19.6.12. л)--х) = /,(д - 1, х).
2
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
19.7. РАЗЛОЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ При X > 0, а —оо 19.7.3. 17(о, х) ~
Если а — большое и отрицательное, то для О =S X < со полагая х = 2 VUHS, ' = (41 а|)а/вт, имеем
19.7.2. т=.+
-(1-ї 4 S^
S
(И"
Ss ds = arccos —- 5 V 1 — Sa
D
, і С V^Trfj = - 5 - і -1 arch 5, 2 J 4 4
(5?!).
19.7.4. Г JI - aj V(a, х)~
^nr (!-?)(^^(0.
Табл. 19.3 содержит значения т как функции от Другие разложения см. в [19.5].
19.8. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ х И УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ о
(х>|о|)
19.8.1. U(a,x)-
......1 (-Dhl), КЖЖЖ) j
I 2х» 2-4х' j
(х - +со). 19,2—19.15. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
г*>+» J - о
499
19.8.2. V(a,x)~
Lijhil
К)И)МЖ)
2-4х*
+
(л; -+ + оо)
Эгя разложения служат основой выбора стандартных решений в 19.3.
Первое разложение справедливо для комплексных х в смысле Ватсона (см, [19.6]) при ]arg х\ < тт/2, хотя в смысле Пуанкаре оно справедливо для более широкого интервала изменения Iarg х\.
Второе разложение справедливо только для действительных положительных X.
