Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
19.9. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ |а| И УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ х
(1) а >0
Если а ¦> Xsy то, обозначая р = Vй, получаем
19.9.1. U(a, х)= -
19.9.2. U(а, -X) =
IM)
4i
2и/Е+1/Л г I
хр (-рх + V1),
ехр (рх + V,) .
(M)
ill (iL
2P (2pf т
? _ 1 f?)S 2 (—)' — f—V - — f—Y
2 5UJ , [2] , З j 2 J 7 I Z J
19.9.3. V1, V1
сад»
¦ + v~' Pp)'
VpY
(a -> +оо).
Верхний знак относится к первой функции, а нижний знак — ко второй.
(2) а < О
Если ¦¦ > л\ то, обозначив р = -J —а, получаем
19.9.4. Ща, х) + /Г J-i - aj V(a, х) =
гія{і/а+в/а) j1 j
IM)
є"™ ехр (vr + in),
19.9.5. тг -
(f ,$1 !ЙНШГ
2р (2 pf т-т
' + (2 pf + (2 pf
Vi ~---—+
2р (2 pf
(2Pf
-...(я-
00).
Другие разложения аналогичного типа см. в [19.11].
19.10. РАЗЛОЖЕНИЯ ДАРВИНА (1) а > 0, Xs + 4а - большое
Введя обозначения 19.10.1. X - ~!хъ + 4а,
ш
VJ xX-, , X + X
X dx = — X + о In-=- S
4 2<Ja
= — VXа + 4а + а а 4
2
(значения •&! см. в табл. 19.3), получаем
19.10.2. І7(а, х) --
(2*)1"
RMj
19.10.3. !/(а, -X) -
(2*)1"
ехр {-в + v(a, х)},
ехр {0 + r(a, —л)},
1Чм)
где
19.10.4. v(a, і) ~ - ~ In X+ 2 (-')' "jJ
(а > 0, х' + 4а +оо), a rfa( выражаются формулами 19.10.13. 500
19. функции параболического цилиндра
(2) а < 0, X1 4- 4а — большое и положительное Введя обозначения 19.10.5. X- Jx' - 41 а I,
0= 4la|93f — ;=) =
UVuiJ
к
\ \
«і
і V^-t I"! + a Mch
Xdx--X+ аІп^ІД
2 J__4 2 Vi«!
а VM
2 VT
(значения см. в табл. 19.3), получаем
19.10.6. U(a, х) -
19.10.7. V(a, х) .
(271)"«
{-О + v(o, х»,
(2")" Vf С/,-«)
ехр {0 + v(a, —х)},
19.10.8. v(a, 1 In Z+ ?(-1)< ^
(о < 0, х" + 4я - +ю),
a d3e выражаются формулами 19.10.13.
(3) а — отрицательное и большое по модулю, а х принимает умеренные значетия
Введя обозначения
19.10.9. У - V41 а I - Xа,
Є = 41ol f—^=I = — t Ydx =
42 VUIJ 2 J
IU. = — — см. в табл. 19.3 L получаем
I 8 J
— Y + I а 1 arcsin — 4 2 V Ia I
19.10.10. Ща, х) --
(2h)1'* 19.10.11. С(а, х) -2
^fr (Н
(2<
ew sin I^- + ™ + 0 + V1J .
19.10.12. ----і 1пГ- + il - ....
2 у* У»
„, _ * _ І? + ... (х> + 4а _
У" У"
Коэффициенты выражаются формулами 1 Ixf
из. л- "-Tiii+"]. а 148 2 J
dt = — - 2а, 4
І.-Ц-JL-*-JLuf
аъ \ 5760 320
- — а V H- У a V - 190**1 320 12 J
153 ,
х' - 18 бах* + 80а».
Значения dls.....d24 см, в [19.11]; в другой форме см.
> [19.5].
Если а< 0 и |х| < 2V|al, то функции U и V являются колеблющимися и их иногда записывают в более удобной форме:
19.11. МОДУЛИ И ФАЗЫ
При а < 0 и I а | > я3 имеем
19.11.1. U(a, х) + /Г I — - а \ V(a, х) =
= F(a, х) «fei«. *>.
19.11.2. U'(a, х) + iT (I - ajv'(a, х) =
= —С(а, х) е«К». »).
IliiiL
19.11.3. F - —-^-«vr,
2»/чі/<
(! + і)"
+ + VI,
где Vr1 Vi вычисляются по формулам 19.9.5; здесь р •
— V—о»
С другой стороны, если P = Viel» —О > X?, то 19.2—19.15. решения уравнения
501
Ihilj
2"/«+ч' л/тс I
19.11.5.
-(M)
(Ap)' (4Р)< - Jt1-M^
г___
" т*
— л4-16
__5_
(4р)*
-rJHlI.-
256
- — J
3
(.*рУ
3
2_
19.11.7. ф
'(I--H
рх Il-
-jt"-176jt2 2_
т'
2 S
3
-X4+ 16
5_
320
--J
3
т'
Если X2 + 4я — отрицательное и большое по модулю, то, обозначив Y = л/4|а| — х'\ получаем
IM
(2т)1'1
¦ - + — +B-I-V1, 4 2
где 0, Vr и V, вычисляются по формулам 19.10.9 и 19.10.12. Другая форма асимптотических соотношений:
Ifcifl
{Inf" 4 Г 621
41" Г
+
+...і
32У J
(х2 + 4а -> — оо),
VrVrfI _.]
- ^ 4у4 у!
...j (jc*+4a-.-M>).
(2*)1" _ 835
32УВ
При этом ф и X связаны соотношением
............те X (, , 47 , 214а ,
1.11.11. ----; 1 +-7 н--Г +
2 Г» I 6У4 ЗУ
14 483 , 1 . , , . ,
-I--г + - (х' + 4а -»-оо).
40 У8 J
СВЯЗЬ С ДРУГИМИ ФУНКЦИЯМИ
19.12. СВЯЗЬ С ВЫРОЖДЕННОЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ (см. гл. 13)
19.12.1. U(а, ±х) --
¦J тс 2-"''jr"» lhf)
lhf)
19.12.2. Ща, X) -
•(f)"
19.12.3. I7(a, ± Jc) =.
^2-1"-"?-!-'' ,Ja , 1 1 jt" 1
=- л/1 — + — > — ; — I 41
г(1 + !) U 4 2 2 j
2Vi-Wxe-I-U /д з 2
г(і + |) " ^2 *' 2' 2>
19.12.4. [/(я, х) - 2-1'*-"" t/f? + і. , I, ї!]=»
1 2 4 2 2 J
(І"
Формулы для функции V(a, х) можно получить из этих соотношений при помощи 19.4.2. 502
19. функции параболического цилиндра
19.13. СВЯЗЬ С МНОГОЧЛЕНАМИ И ФУНКЦИЯМИ ЭРМИТА
Если п принимает целые неотрицательные значения, то
19.13.1. р|-п - і , zj -
- е-»"* Не„(х) = 2-»" е-"" Hn ^j= j .
19.13.2. <"|я -J- -I , =
¦Vi
gxiU НеЦх) = 2~пІг еяг,і
где Hjl(X) и HenU) — многочлены Эрмита (см. гл.22), а функции /-/'-V; и Hn(X) имеют ЛИД
19.13.3. Het(X) - е-"" — = (-/)" Hen(ix), dx'
19.13.4. Щ(х) = —е" = (-/)» #„(&). dxn
Этими формулами дается одно элементарное решение уравнения 19.1.2 в случае, когда 2а — целое нечетное.
