Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
19.14. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛОМ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И С ИНТЕГРАЛОМ ДОСОНА (см. гл. 7)
19.14.5. п - -j , xj =
Если, как и в [19.10], ввести обозначения 19.14.1. HIu1(X) - с-1"2,
19.14.2. H!tn(x) - J Hhn^ffldt =
= - \ (1 - х)'e~l"4t (и SO), n! J
>
19.14.3. І/|в + 1 , .tj = в"'" ЯА„(х) (и S -1). Соответственно,
19.14.4. Г^-.х) = !/If""'".
І. 8111 — Ce CiFf-H + — , Adt----1
} I 2 ; 2"«Г^ + і)|
(п > 0).
Функция V ^ — —, xj тесно связана с интегралом До-
сона ^ е? dt-о
Эти соотношения дают второе решение уравнения 19.1.2, когда 2а принимает нечетные целые значения. Б этом случае второе решение нельзя получить из V(a,x) отражением относительно ОСИ V.
19.15. ВЫРАЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ, КОГДА 2а —ЦЕЛОЕ
1 IxV
19.15.7. V(2, х) = -j Ijl (2?,, - 3 Fs,, + Д„).
19.15.1. /_„ -In= — sin нл • К,,
19.15.2. /_„ + In = cos IITi ¦ Fn,
получим 19.15.3—19.15.22 (здесь аргументом всех модифицированных бесселегых функций является х3/4).
19.15.3. U( 1, х) = 27t"1'»
19.15.4. U(2,x) = 2-- Tt"1'2 З
(fJV
(іГ
19.15.5. VQ, х)
,22
Klli 4- Кг„).
(Ищ -
— + Km1)'
-1Itr
(—5 Klli + 9^3/4—5^5/4+ K7li).
19.15.6. К(1, х) = і ^-j JnCF1,, - F,,,).
1 {х\Ч1г
19.15.8. Г(3, і) = -і Ij-I (5F1„-9Fs,i+5Ft„-F„0.
19.15.9. V(0, х) - ти"1'= ^j J" ATi,,.
19.15.10. 17(-1, = Tt-"= * (АГі„ + АГ,,,).
JI (2АТ,„ + ЗАТ,„-*¦„,).
19.15.12. VC-З, А") =
19.15.13. К(0, і)= "J (JJ" ft/..19.16—19.26. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
+ U-O
503
19.15.14. Г(-1, х)
'(її
№,4 + f,„).
19.15.19. - ~ , *) - Щ (5 K11, - Ksl2).
19.15.20. V (-І , xj = (-|) (/i, „+ І-г,і).
19.15.21. , *) = (271/3 + ZK1,,).
19.15.22. V (-І , ,) =
УРАВНЕНИЕ + f — - а) у » о
rfx2 I. 4 ; 19.16. РАЗЛОЖЕНИЯ В СТЕПЕННОЙ РЯД ПО х
2 /"хї6^
19.15.15. Г(-2, х) = - - (2F1/4 + 3F3li - F^i).
19.15.16. V(-3, X) =
2 2 fx Vа
" з' T uJ <5Fl" + 9F"' ~5Fi'1 ~
1,1,17.,(-1.,) = 1/1(1)^,
Ч;гныг и начатые ргшзиия даются формулами 19.2.1 — 19.2.4, -гс:ш в ничвмзсто а написать ~іа, а вместо л- написать j«'7'-'Ряды содержат комплексные величины, но мнимая часть суммы тождественно равна нулю.
+ Ia6 - 25а3 +
4!
15 1 Xі I
--— * +
4 J 8! I
211 J Xk
4 "J 101
5! +
В 19.16.1, 19.16.2 не равные нулю коэффициенты при
— (обозначим их через ап) связаны рекуррентным соот-п\
ношением
19.16.3. дд+а =^atCtn--(л - 1) Ctn-V
4
19.16.2. * = + р-1)-^ +
19.17. СТАНДАРТНЫЕ РЕШЕНИЯ (см. [19.4])
19.17.1. W(a, ±х) = (dl ^j"' (ОіЛ =F -JrIGtf,).
,17.2. та, !9.17.1, 19.17.2
(M)"
19.
В 19.17.1, 19.17.2 19.:
При х = 0 имеем
.9.17.4. W(a, 0) «= -jSTT
IM)
J-Ife..
2s'a У Gs
19.17.5. W'(?, 0) = - -
(M) (M)
J- Ife.
21'« 1 G1
Комплексные решения
19.17.6. x) = r1'2^, *) + і№W(a, -x).
19.17.7. ?*(a, *) - k-'"IT(a, x) - Ik1I1WCa, -*). B 19.17.6, 19.17.7
19.17.8. Jfc = Vl -e"" -є*1, -i = Vl + e"" + к504
19. функции параболического цилиндра
Выражая через функцию U(n. х,, из 19.3 получаем
19.17.9. Е(а, X) - -Jl еч««+<шн-і®,п щіа> xe-tmt),
19.17.10. Фа = arg Г
(і-)'
причем берется та ветвь, для которой Ф2 = 0 при а = 0. Имеем также
19.17.11. V^ Щіа, »H*«) -
- Г - laj {?"««-«"« V(-ia, хе'™") +
+ c-ti«/S+IW4 и(-іа, —хе""').
19.18. ВРОНСКИАН И ДРУГИЕ СООТНОШЕНИЯ
19.18.5. У г (-j + Iaj Е'{а, х) =
19.18.1. W{W(а, х), W(a, -х)} - 1.
19.18.2. W{(E(a, х), Е*(а, х)} = -2І.
19.18.3. VT Te5si Е(а, х) = с"*Е'(а, х) + iE'(a, -х).
19.18.4. Е*(а, х) = е-'<®гии'> Е(-а, Ix).
'j/г (I - jajE(-cr,lx).
19.19. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Эти представления для уравнения 19.1.3, так же как для 19.1.2, даны в 19.5 (общий комплексный аргумент).
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 19.20. РАЗЛОЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ ЭЙРИ
Пусть а—большое положительное, 0 -V л ¦. со, х — = 2 Va 5, I - (4а)т т и
19.20.1. т =
= - arccos 5--5 -JT^J2 а =S 1), 4 4
: = + 9, j'" , ?, = і ^ Vi1 - 1 =
= -uVS2-l--archS (5>1). 4 4
Тогда для X > 0, а ->¦ + со имеем
19.20.3. Ща, х) ~/іг(4а)-1"г-™'ї(--—-j1MBi(-(),
19.20.4. W(a, -х) -
' 2VS (40)-1"^"'^^rJf4Ai (- 0.
Табл. 19.3 содержит значения т как функции отДругие разложения см. в [19.5].
19.21. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ л- И УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ а
19.21.3. W(a, -х) -
Если х Ь- \а\, то 19.
U1.1. .) - ехр { - а In * + f^j
s(a, х).
19.21.2. W(а, х) =
= 1{Щ{ма,х)cos - а In * + ~ + -^j -
% , f** . Я <М1
— ада, х) sin - — а In X -I---1--
1 4 4 2 Jf
+ *2(o, х) cos [— — а In X + — + — ] і -
14 4 2 Jj
где определяется формулой 19.17.10 и 19.21.4. s(a, х) — х) -(- /j2(a, х).19.16—19.26 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
19.21.5. j/a, х) ~ 1 +
l!2jc= 2! IaX4
——— + —+ ..., 312V 4!2V
19.21.6. !,/а, х) ~ ---+
112*» 2!2V
+ —2- +—2--... (хч- + оо),
3!2»x« 412V
19.21.7. Ur + /V, ¦
r(i+ia) '
505
Функцию s(a, x) можно записать в виде 19.21.8. г (а, х) ~
Г f 2т- + — + ."а")
J-1-
- Г ("J+'«)
2'г!х"
19.22. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ а И УМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ х