Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
39
весьма живой. Некоторые его задачи напоминают нам красочные индийские формулировки: например задача 17 последней книги трактата, построенная в виде диалога между женщиной, моющей посуду, и перевозчиком; задача 34. той же книги, описывающая степени числа 9.
Трактат Сунь-цзы заслуженно считают наиболее ранним из дошедших до нас метрологических текстов. К метрологии относятся не только таблицы из первой книги трактата, но и, по существу, как выяснилось, геометрические задачи, а также задачи, связанные с употреблением десятичных метрологических дробей. Числовые таблицы, составляющие первую книгу трактата Сунь-цзы, являются отличительной особенностью этого древнекитайского сочинения. Известно, что вавилоняне широко пользовались числовыми таблицами, поскольку основание их системы было весьма велико. Трактат Сунь-цзы показывает, что и в древнем Китае широко их применяли. Заметим, что чисто числовые таблицы даны в описательной форме. Деление, например, представлено как равное распределение некоторого количества А между п людьми.
Содержание первой книги трактата Сунь-цзы следующее.
Прежде всего приводятся канонические таблицы мер длины, веса и емкости. Сообщаются приближенные значения числа тс=3 и удельный вес некоторых металлов и других веществ. Далее кратко сформулирован позиционный принцип представления чисел на счетной доске при помощи счетных палочек, а также правила умножения и деления целых чисел на счетной доске. Затем следует ряд отношений, применяемых при обмене зерна различных видов. Остальные таблицы можно разделить на три группы. Первая из них описывает по существу переход от шкалы, разделенной на 10, 9, . . ., 5 делений, к шкале с удвоенным количеством делений. Вторую назовем «расширенной таблицей умножения». В ней вычисляются произведения вида т^п2, и тп2, где га=9, 8, . . . ., 1, а т=п, . . ., 1. Третья таблица содержит произведения (32.34).(3.4.3Й) и 2-Зя+1, где и=1, . . ., 11.
По-видимому, составление таблиц постепенно совершенствовалось, одни таблицы строились на основании других. (Конструкция расширенной таблицы умножения «Девятью девять».) Все эти таблицы содержатся в более поздних математических текстах Дуньхуанских пещер тысячи будд, которые ныне хранятся в Париже [93; 94, с. 22-39].
Некоторые из мер длины, веса и емкости уже встречались в «Математике в девяти книгах», но соотношения между ними можно было восстанавливать лишь по контексту задач. Метрологические таблицы Сунь-цзы не являются простым сводом известных ему соотношений мер, но несут на себе следы специальной обработки. Мы их назвали каноническими, так как в основу таблиц положена десятичная шкала для перехода от одних названий к другим, а для минимальных единиц, которые мы назвали элементарными, были сформулированы определения. Эти таблицы используются как для построения десятичных дробей, так и для
40
образования систем наименований старших десятичных разрядов, которых у Сунь-цзы две (подробно см. ч. II).
Обильный практический материал, который поставляет метрология, с одной стороны, дал возможность усовершенствовать вычислительную технику. И эти новые достижения, с другой стороны, дали возможность прийти к более совершенным методам, решающим более широкий класс задач. Сама методология изменилась. Если раньше древнекитайские ученые выражали точно результат вычисления (в виде обыкновенных дробей), то теперь точность переносится в область интерпретации. Раньше выбиралась идеальная модель, далекая от реального сооружения, например плотины, но проводились точные вычисления по точной формуле (вплоть до дробной части человека!). Теперь выбирается более точная «физическая» модель, а вычисления могут проводиться приближенно (см. ч. V).
6. Математический трактат Чжан Цю
Трактат Чжан Цю-цзяня, входящий в математическое «Десяти-книжье», был написан примерно через 200 лет после написания «Математического трактата Сунь-цзы» [51]. Его автор, так же как и Сунь-цзы, испытал сильное влияние «Математики в девяти книгах», но представил сочинение, имеющее самостоятельное значение. Развивая методы предшествующей математической литературы, Чжан Цю-цзянь уделял в ряде случаев внимание тем из них, которые оставил в стороне Сунь-цзы и которые в дальнейшем стали объектами пристального изучения: ряды, уравнения высших степеней, теоретико-числовые проблемы и др. Таким образом, трактат Чжана существенно восполняет наше представление о развитии математики в Китае за время между древней классической «Математикой в девяти книгах» и работами китайских алгебраистов XIII—XIV вв.
Не сохранилось почти никаких сведений об авторе данного трактата. Подпись под предисловием «С уважением Чжан Цю-цзянь из Цинхэ» лишь указывает, из какого рода знатных людей он происходил. Большинство математиков относят текст к V в. [15, с. 80; 135; 150, с. 33].
Трактат Чжан Цю-цзяня — второй по размеру текст в «Деся-тикнижье» после «Математики в девяти книгах»; он состоит из. трех книг: первой, средней и последней (подобно трактату Сунь-цзы). Некоторое количество задач утеряно, так как текст средней книги оборван, а последняя начинается с ответа к задаче, условие которой отсутствует. Вообще средняя книга выделяется наименьшим количеством задач. В ней всего 22 задачи, тогда как в первой их'32, а в последней 38. Тем не менее даже неполный текст сочинения Чжан Цю-цзяня гораздо^болыпе всех остальных трактатов «Десятикнижья». Например, в трактате Сунь-цзы всего 64 задачи, в «Математическом трактате пяти ведомств» — 67.
