Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Что касается алгебры и геометрии, то и здесь у Чжана отмечается новизна в постановке традиционных задач. Он решает линейные системы и при этом применяет несколько измененный вариант правила «фан-чен». Он заключается в том, что изменяется порядок в преобразовании матрицы системы к треугольному виду.
45
Этим самым Подчеркнута слабая связь матрицы с уравнениями, т. е. имеется в виду, что вычислитель действовал с числами матрицы, а не с уравнениями. Однако перехода в полной мере к определителям произойти еще не могло, поскольку равноправия столбцов и строк матрицы не получалось из-за присутствия в ней свободных членов уравнений (см. далее подробно в ч. IV).
В трактате Чжана приводятся также задачи на системы, решенные другими методами (задача 1 последней книги; 21 первой книги, похожая на задачу 15 последней книги трактата Сунь-цзы) [49, с. 35; 51, с. 35, 47].
Квадратные уравнения встречаются в задачах 22 средней книги и 9 последней [51 ]. Чжан, как и составители «Математики», ни разу не описал подробно процедуру нахождения корня квадратного уравнения. Или, быть может, переписчики опустили из-за трудности эту часть текстов? В тех же задачах, где извлекаются квадратные и кубические корни из чисел, формулировка правил несколько отлична от предложенной в «Математике». Терминология более устоявшаяся, более точная (см. далее подробно в ч. IV).
Что касается геометрии, то опять-таки в отличие от Сунь-цзы задачи Чжана не измерительного характера. Они хотя и вычислительные, но в них подчеркивается их геометрическая сущность. Делает это Чжан Цю-цзянь следующим образом, произведя специальный подбор и группировку задач.
Четыре задачи (20, 21 средней книги и 30, 31 последней книги) явно выделяются своей постановкой [51, с. 46, 57—58]. В первой паре извлекается квадратный корень, во второй — кубический. В этих случаях стандартными были задачи на определение стороны по заданным площади квадрата или объему куба. Чжан Цю-цзянь сначала действительно предлагает вычислить сторону квадрата с заданной площадью, а затем применяет правила извлечения квадратного корня к проблеме преобразования квадрата в круг и наоборот. Задачи ставятся так: круг и квадрат равновелики, и если известна сторона квадрата, то каков «обвод» (т. е. окружность круга); или: если известен обвод, то надо найти сторону квадрата. Задачи 30, 31 последней книги аналогичны: куб преобразуется в сферу, и, наоборот, сфера—в куб. Эти задачи приведены без предварительной задачи на вычисление стороны куба по его объему. Вычисления в этих задачах производятся в предположении числа 7т;=3 в планиметрических задачах и тт:=27/8 в стереометрических. Первое значение было общепринятым в канонической литературе, хотя математики знали более точные значения числа ти. Второе значение было, вероятно, заимствовано Чжаном из правила к задачам 23, 24 на вычисление диаметра сферы по заданному объему в книге IV «Математика в девяти книгах» [50, с. 471]. Это же значение числа к использовано в задаче 20 первой книги, где из глиняного единичного куба делают ядра диаметром, в десять раз меньшим стороны этого куба. Здесь появляются комментарии Ли Чунь-фэна, в которых он уточняет ответ в связи с более точным значением 7x^22/7, вычисленным еще Лю Хуэем в III в.
46
Отметим также, что во всех этих четырех задачах корни извлекаются приближенно по правилу
дающему значение корня с недостатком, в отличие от Сунь-цзы, который пользовался формулой, дающей корень с избытком:
\/а2 + г^а + -^-.
Впрочем, обе эти формулы были описаны еще Лю Хуэем в его комментариях к «Математике в девяти книгах».
Другая группа задач составлена так, чтобы показать сечения геометрических фигур и тел (задачи 7—10 средней книги) [51, с. 41 — 42]. Правильная четырехгранная пирамида усекается в усеченную пирамиду, и, наоборот, правильная усеченная пирамида с квадратными основаниями достраивается до полной. Вычисляются высота усеченной и достроенной частей (это задачи 9 и 10). В предшествующих им задачах произведено сечение трапецоида, сечение имеет, по-видимому, форму прямоугольной трапеции. В этой трапеции произведено сечение отрезком, параллельным основаниям. Отыскивается либо этот отрезок, либо высота отсеченной нижней части.
Следует упомянуть еще задачу 11 средней книги трактата Чжана, так как в ней вычисляется боковая поверхность параллелепипеда, а также задачу 15 первой книги (из серии задач практической геометрии на измерение расстояний до недоступных предметов), в которой фактически вводится понятие проекции, правда, термина еще нет (о последней задаче см. далее подробно в ч. V) [51, с. 42, 32].
И, наконец, задачи 4—11 последней книги, в которых вычисляются емкости зернохранилищ, имеющих форму трапецоида, усеченного конуса, обелиска, усеченной пирамиды, построены попарно: каждая задача дана с обратным ей вариантом [51, с. 48— 50]. По своему решению это обычные задачи, рассмотренные ранее в «Математике» и у Сунь-цзы. В задаче 19 первой книги Чжан Цю-цзянь принимает отношение диагонали квадрата к его стороне равным, как у Сунь-цзы, 7/5. В1 этой задаче рассмотрен квадрат, вписанный в круг [51, с. 35].
