Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
по формуле а с /г, где а, Ъ, с были, по существу, тремя из-
мерениями «ширины» прямоугольника с его длиной, равной И. Здесь использовалось понятие среднего арифметического трех измерений «ширины» поля в характерных местах — самом широком (узком) и на концах поля [52, с. 86]. Этот же принцип осуществлен при вычислении площади произвольного четырехугольника (задача 14 первой книги ведомственного трактата) [52, с. 86]. Согласно правилу, приведенному в тексте, площадь такого поля вычислялась
по формуле ? =--а ^~с 'Ь , где а, Ь, с, & — стороны четырехугольника (см. подробно далее в ч. V). Необычайная популярность и живучесть этой, вообще говоря, неверной формулы, которая обычно не нравится математикам, заключается в ее умелом при-
51
4*
менении. Она не будет давать больших ошибок, если четырехугольное поле не будет значительно отклоняться от прямоугольного. Вероятно, на практике это условие интуитивно, но соблюдалось. И если формулу площади четырехсторонника рассматривать как первую попытку провести приближенное вычисление с привлечением среднего арифметического сначала только двух измерений (при соблюдении некоторых условий -наименьшего отклонения от точного значения), то эта формула, право, не кажется пугалом. Правда, в китайской задаче приводится фигура, не очень хорошо напоминающая прямоугольник. В зависимости от разного расположения фигуры с заданными сторонами и в случаях наилучшего приближения к прямоугольнику значение площади все же отличается от данного в ответе значительно, так что ошибка составляет 6—7%. Но, может быть, эта погрешность допущена только в учебной задаче, или чиновников удовлетворяла такая точность? Нам, к сожалению, неизвестна точность измерительных инструментов того времени. Однако можно привести косвенные свидетельства. В ведомственном трактате [52, с. 86, задача 7] вычислена площадь поля «в виде лука», т. е. сегмента. Сегмент заменили треугольником с тем же основанием и высотой, и этой точности хватило. Тем не менее еще пятьсот лет назад в «Математике в девяти книгах», в первой книге, на вычисление полей были решены аналогичные задачи по более точной формуле [50, с. 44&].
Таким образом, все изложенное выше характеризует «Математический трактат пяти ведомств» как практическое руководство к вычислительной работе в учреждениях древнего Китая.
8. Арифметическое пособие Сяхоу Яна
О «Математическом трактате Сяхоу Яна» («Сяхоу Ян суань цзин») исследователи обычно упоминают в связи с сочинениями Сунь-цзы и Чжан-цзяня [147, с. 39], кратко описывая его содержание, сводящееся к задачам на проценты, к операциям умножения и деления и принципу позиционности [110, с. 34—35; 150, с. 37]. Известно, что в предисловии трактата Чжан Цю-цзяня (V в. н. э.) упоминается о Сунь-цзы и Сяхоу Яне, а в трактате Сяхоу Яна повторяется правило нахождения площади неправильного четырехугольника, употребленное в «Математическом трактате пяти ведомств». Это все, что известно о хронологии текста. Об авторе трактата также нет сведений. Трактат прокомментирован Чжэнь Луанем. Комментария Ли Чунь-фэна здесь нет.
Относительно даты составления трактата можно указать следующее. И. Миками [147] относит текст к середине или второй половине VI в. Дж. Нидем и Ван Лин считают, что Сяхоу Ян жил при династии Северная Вэй, поскольку автор древнего трактата упоминает об эталоне мер и весов V в. Таким образом, трактат Сяхоу Яна был по крайней мере при Чжан Цю-цзяне. Однако Цянь Бао-цун в последнем издании «Десятикнижья» поместил данный трактат последним. Хотя сочинение Сяхоу Яна существовало
52
в V в., но сохранившийся ныне вид приняло тогда, когда его дополнил ц обработал некий Хань Янь (780—804). До него трактат состоял из двух книг, а не из трех, как мы его теперь находим. Действительно, первая книга существенно отличается от двух последних. В трактате Сяхоу Яна содержится, на наш взгляд, значительный процент двусложных слов, особенно в книге первой, тогда как в других трактатах «Десятикнижья» преобладают слова односложные. Некоторые древние термины, например относящиеся к пропорциям, исчезли, и правила описаны несколько иначе, чем в более ранних текстах. Встречается современное слово для обозначения процентов, тогда как ранее оно не употреблялось, хотя задачи подобного рода решались. Книга первая трактата Сяхоу Яна по содержанию весьма схожа с книгой первой твактата Сунь-цзы. В ней также содержится описание принципа позиционности китайской счетной доски, некоторых правил операций (умножение и деление) с целыми числами и дробями, метрологических таблиц и др. Однако в отличие от трактата Сунь-цзы у Сяхоу Яна в первой книге для пояснения некоторых правил приводятся задачи. Их всего девять. У Сунь-цзы задач в первой книге нет. Но в нем большую часть занимают числовые таблицы, которых у Сяхоу Яна нет совсем. Весь материал первой книги трактата Сяхоу Яна разделен на отдельные параграфы. Их насчитывается шесть. Это тоже новшество в манере изложения древних авторов.
Следует отметить еще одну характерную особенность трактата Сяхоу Яна: в первой его книге осуществляется попытка описать историю эталонов мер и веса, четко сформулировать правило умножения и деления на степени 10, которое, правда, употреблялось еще до Сяхоу Яна, например у Сунь-цзы. Все это действительно ставит сочинение Сяхоу Яна в ряд более поздних текстов, чем трактаты «Десятикнижья». Невозможно не заметить разницы при изложении принципа позиционности в трактатах Сунь-цзы и Сяхоу Яна. Если у Сунь-цзы принцип излагался на фоне описания операций умножения и деления целых чисел, то в трактате Сяхоу Яна, наоборот, операции с числами описаны кратко и даже неполно, а сам принцип изложен довольно обстоятельно. Если у Сунь-цзы по имеющейся у него терминологии можно было судить о том, что Сунь-цзы представлял дробь как пару чисел, то в трактате Сяхоу Яна дробь как пара выступает так отчетливо, что порою даже неясно, идет ли речь о паре чисел просто или о паре чисел, составляющих дробь. Во многих вопросах Сяхоу Ян очень близок взглядам Сунь-цзы, но иногда идет и дальше. Особенно это видно в области применения десятичных дробей. В трактате Сяхоу Яна большое внимание уделено действиям с именованными числами. Помещены специальные задачи для этого, более всего они расположены в последней книге. В них занимаются переводом из одних мер в другие или расчетом стоимости определенных единиц мер и весов. Именованные десятичные дроби заданы непосредственно в условии задачи, и выражения эти довольно сложные. Встречаются в ответах периодические десятичные дроби, у которых период повторен два
