Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому
откуда / ^ •
где у,=й/(а1—а2). / #/
в
Правило гласит: «Установи промежуток / /
между угольниками и, взяв верхний ка- / /
тет гу, умножь на него, это делимое. Верх-
ний и нижний [катеты] гу вычти один из ?_
другого, остаток будет делителем, раздели Р $
на него. Из того, что получится, вычти вы-
г 1 * * Рис 55. «Ущелье»
соту [катета] гоу, это и будет глубина
ущелья».
Рассмотрим теперь задачу 3. «Наблюдают на юге город с квад]эдтной [стеной] неизвестных. размеров. [Для этого] установили пару вертикальных шестов на востоке и на западе с расстоянием между ними 6 чжанов и на уровне глаза человека натянули веревку между ними. Пусть восточный шест вместе с юго-восточным углом и северо-восточным углом города находятся на одной прямой. Тогда [если] отойти на север от восточного шеста на 5 бу, то можно наблюдать северо-западный угол города [на расстоянии ] 2 чжана 2 чи 6 цуней с половиной внутри на веревке от восточного ее конца. [Если] в другой раз отойти на север от шеста на 13 бу 2 чи, то северо-западный угол города можно наблюдать в точности совпадающим с западным шестом. Спрашивается, какова сторона города и насколько город удален от шеста? Ответ: Сторона города 3 ли 43 3/4 бу, город удален от шеста на 4 ли 45 бу».
Заданы (рис. 56): длина веревки АВ~о1, первый отход от шеста АО^аг, второй отход А02=а2, отрезок А К = 1, искомые Р()=х и А()=у. Для решения проводится КЬ параллельно Р02. Рассматривается пара прямоугольных треугольников АВ02 и АКЬ.
Отсюда АЬ = -^р- = 8. Далее находится отрезок ОгЬ = Ь — а1у
необходимый для пропорции Р01!К01=(а2—а^10хЬ^ вытекающей из подобия треугольников РОг02 и КОгЬ. Третья пара по-
27Ъ
добных прямоугольных треугольников — это Р(20г и КАОх. Они дают пропорцию х11=РОх1КОх. Таким образом, получается
Т = ^Ь — а^) их = На2 — а1)1Ф — а1)> а также у —- ах (а2 — 8)/(8 — аг).
Как видно, условия этих первых задач весьма просты, но они не являются повторением классических задач «Математики в девяти книгах», рассмотренных в предыдущем параграфе.
Лю Хуэй развил далее методы измерения на местности. Он учел, что следует измерять обычно не только высоту недоступного предмета, но и расстояние до него. Для этого требуется провести два или более наблюдений. Лю Хуэй посвящает этой проблеме две первые свои задачи. Он занимается также вычислением ширины наблюдаемого объекта при помощи измерительных инструментов (задачи 3, 6, 8, 9). Содержание задач •г-.а/ Лю Хуэя таково: в них определяются 1) высота морского острова и расстояние до него; 2) высота сосны на холме и рас-г/ стояние до нее; 3) размер городской стены \у в виде квадрата; 4) глубина ущелья;
5) высота пагоды; 6) ширина реки; 7) глубина водоема; 8) ширина переправы; 9) размер городской стены в виде прямоугольника.
<<г С точки зрения вида измерений в «Ма-
тематическом трактате о морском острове» Лю Хуэя измерениям при помощи мерной веревки посвящены две задачи (задачи 3, 6), при помощи пары шестов — две задачи (задачи 1, 2), при помойщ пары угольников — остальные пять задач (задачи 4, 5, 7—9). Основным типом измерений, как видим, являются измерения с помощью угольника. В этих задачах находится как глубина, так и ширина объектов (задачи 4, 7 и 8, 9). Чаще всего в задачах Лю Хуэя производятся три наблюдения, а в одной (задача 7) — даже четыре. Именно: ъ задачах 1, 3, 4 — два наблюдения, в задачах 2, 5, 6, 8, 9 — три наблюдения. Следовательно, типичной задачей в сочинении Лю Хуэя должна быть та, в которой при помощи трех измерейий угольником определяется ширина недоступного объекта. Такой задачей является задача 8.
Приведем задачу 8 трактата: «Взошли на гору для наблюдения переправы вброд, переправа находится к югу от горы. Смотрят вниз по угольнику, [стоя] наверху на горе, пусть высота катета гоу 1 чжан 2 чи. На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег переправы, [при этом] на нижнем катете гу [откладывается] еще 2 чжана 3 чи 1 цунь. Наблюдают северный берег переправы, [при этом] внутри катета гу от предыдущего наблюдения [откладывается] 1 чжан 8 цуней. Поднялись выше на отвесный утес, отошли точно на север на 22 бу, взошли выше на 51 бу, смотрят вниз по угольнику сверху с горы.
276
На конце катета гоу по наклонной можно увидеть южный берег переправы, [при этом] внутри на верхнем катете гу [откладывается] 2 чжана 2 чи. Спрашивается, какова ширина переправы? Ответ: 2 ли 102 бу.
Способ: взяв высоту катета гоу, умножь на нижний катет гу, составь в одно [число] с верхним катетом гу. Из того, что получится, вычти высоту катета гу, остаток есть делитель. Установи [то, на сколько] отошли на север, умножь на высоту катета гоу, составь в одно [число] с верхним катетом гу. То, что получится, вычти из восхождения вверх. Остаток умножь на [то, сколько отложилось] внутри катета гу. Делимое и делитель объедини в одно [число] и получишь ширину переправы».
Яр
/і
с С
Рис. 57.
«Переправа»
4-і
т
л,
1 аг V
1^
р
ҐСебер)
а:
Заданы (рис. 57): 01А=02С„~к = 1 чжан 2 чщ при первом наблюдении АВ=а1=2 чжана 3чи 1 цунъ, ВЬ = 1 = \ чжан8 цуней; при втором СО'=а2 = 2 чжана 2 чи, при этом АИ =<21=22 бу; С7?=й2=51 бу, надо найти Р()=х.
