Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
В задачах Цинь Цзю-шао определяются: 1) высота горы и расстояние до нее, 2) глубина рва и расстояние до воды, 3) ширина реки, 4) (или задача 1 свитка 8) размеры стены квадратного города, 5) диаметр стены круглого города, 6) диаметр круглого вражеского лагеря, 7) расстояние до вражеского лагеря, 8) диаметр круглого озера, 9) высота пагоды и некоторые другие параметры ее.
Задача 1 Цинь Цзю-щао такова: «Наблюдение высоты горы и расстояния [до нее]. Задача о знаменитой горе неизвестной высоты и удаленной на неизвестное расстояние от городской стены. За городской стеной на ровном месте имеется некий столб высотой в 2 чжана 3 чи. Пусть [он] будет предыдущим шестом, и тогда установи последующий шест одинаковой высоты со столбом, так что они будут удалены друг от друга на 164 бу. Если сначала отойти от предыдущего шеста на 3 чжана 9 цуней, а затем отойти от последующего шеста на 3 чжана 1 чи 3 цуня, то горный пик будет наблюдаться по наклонной вровень с верхними концами шестов. Уровень зрения человека 5 чи. Делитель
280
для ли 360, делитель для бу 5 чи. Как узнать высоту горы и расстояние до нее? Ответ: Высота горы 20*с половиной ли 3 3/5 бу, расстояние до нее 27 ли*328 67/575 бу»*[105, с. 161].
Пусть вершина Р высоты РН=х и расстояние до нее Й02=у подлежат определению (рис. 62). Известны высота измерительных шестов АВ^СТ?!=/гДрасстояниеГмежду ними АС=й, отрезки ОхВ=ах и 02П=а2, на7которыетследует отойти, чтобы наблюдать оба раза пик Р^совпадающим*с*точками А, С. Высота уровня зрения 01Е=02Р=к1. " *5
Задача вполне стандартна, она аналогична задаче 1 |из трактата Лю Хуэя. Разница заключается в том, что наблюдатель производит измерения стоя, а не с земли лежа. Таким образом,
/9
Рис. 62
1
В, Е Л,
Е
в формулы для искомых величин войдет не А, а разность АН= =Ь,—1г1. Кроме того, здесь искомые х и у являются не Р(? и ()Е, а РЯ и В02. Отсюда трансформация формул для х и у. Согласно методу «чжун-ча» для решения задачи необходимо провести С К || АОг. Из подобия прямоугольных треугольников РЯ02 и СЪ02 следует ряд отношений соответствующих сторон х/Ак= =у/а2=Р02/С02. Из подобия треугольников РОг02 и СК02 следует
Р02 _д' + ^ъ — аг)
С02 й2 — «1
Таким образом, искомые величины находятся по формулам
Дй [й + (а2 — аг)]
У
_{Ай [<г+(А2 — а1)]}а2
АД (а2 — о^)
Действительно, алгоритм, приведенный Цинь Цзю-шао, в наших обозначениях можно передать следующим образом:
1) делитель для х равен (а2—аг), Щ
2) составляется «верхнее число»: (1-\-(а2—ах),
3) делимое для х равно ДА Ы+(а2—аг)],
/\ у АЛ [с* + (а2 — лО]
4) формула для х: х-=^—1———-—,
а2 — а,\
5) делитель для у равен (а^—а-^) ДА,
6) делимое для у равно а2 {А/г [й-\-(а2—а1)]},
7) формула „. у: ,= <и"+?^*.
19 Э. И. Березкина
281
Таким образом, эта задача является типичной задачей измерения на местности при помощи двух шестов. Производятся два измерения, определяются две величины: высота и расстояние до объекта. Приведенные Цинь Цзю-шао формулы отличаются от формул Лю Хуэя тем, что в данной задаче искомая у определяется несколько иначе.
Следующая задача на метод «чжун-ча» — довольно простая задача 3 того^же свитка VII. В ней говорится о том, как путешествующий чиновник встретил на своем пути реку и решил измерить ее ширину PQ—x (рис. 63). При помощи отвеса он измерил крутой берег реки, высота которого оказалась равной NK=h2=3 чжанам. Далее наблюдатель пользуется бамбуковой тростью длиной ЬВ—а=6чи, досжит ее горизонтально, основание трости лежит на уровне подбородка на расстоянии h=5 цуням от глаза. Чиновник видит противоположный Р ? Q берег реки, песчаную отмель
Рис. 63. «Река» QP так' 4X0 ПРИ этом на1 ?Р°С7ТИ
откладывается внутрь АВ=1=
=3 чи 4 цуням. Уровень зрения ON=^=5 чи. В результате вычислений наблюдатель получает ширину реки
х— ъ .
Для решения задачи следует рассмотреть пару произвольных подобных треугольников ОАВ и OPQ, а также пару прямоугольных подобных треугольников OLA и ОКР. Отсюда х/1= =OP/OA=OK/OL, где OK=h2+h1 (вместо ОК в подлиннике почему-то указан LK).
Прежде чем перейти к задачам свитка VIII, отметим, что три задачи данного свитка VII представляют все виды измерений на местности: в первой задаче с помощью шеста, во второй (здесь опущенной) — с помощью угольников, в третьей, по существу, с помощью веревки, хотя можно также считать, что применяемая здесь трость могла служить угольником. Из них первую задачу можно оценить как типичную стандартную задачу, аналогичную задачам Лю Хуэя; вторая, наоборот, нестандартная, а третья также обычная задача практической геометрии.
Из следующего свитка VIII книги Цинь Цзю-шао рассмотрим задачи 1, 4 и, наконец, последнюю — 6. Эти задачи совсем простые. Задача 4 похожа на задачу 15 книги I трактата Чжан Цю-цзяня, которая в свою очередь базируется на задаче 22 книги IX «Математики в девяти книгах». Вот ее условие: .«Измерение квадратной городской стены [с помощью] шестов. Задача о неприя-
282
тельской городской стене, [которая имеет] неизвестную ширину, и расстояние до нее также неизвестно. Ее наблюдают из леса, [растущего] на равнине возле стены на юг от города. На окраине леса имеется два дерева, отстоящих друг от друга с юга на север на 160 бу, находящихся на продолжении прямой восточной стороны стены. К востоку от двух столбов ставятся напротив два вертикальных шеста. Промежутки между шестами и столбами [образуют] четыре равных стороны. Глаз человека [находится на уровне] веревок, связывающих их. От восточного заднего шеста по направлению на запад человек проходит 10 бу и наблюдает северо-восточный угол стены на 15 бу внутрь от переднего восточного шеста, . а также наблюдает юго-восточный угол стены на ? 48 бу с цань и половиной бу внутрь от восточного переднего шеста. Делитель для ли 360 бу. Как узнать ширину стороны стены и расстояние до нее? Ответ: Ширина стороны стены каждая 12 ли 320 бу, стена отстоит от дерева на 9 ли 320 бу».
