Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда находится величина г, которая в задаче определена очень интересно: это неизвестная длина бамбукового нгеста, совпадающего с диагональю двери:
z = ^|2ab + (a-\-b).
Легко видеть, что теперь
х — \]2аЪ -\- Ъ, у = \j2ab -|~ а.
Правило гласит: «Перемножь недостатки длины и ширины, удвой и извлеки квадратный корень. То, что получится, прибавь к недостатку длины, это и будет ширина двери. Прибавь к недостатку ширины, это и будет высота двери. Прибавь к обоим, получишь диагональ двери» [50, с. 509].
Здесь же можно отметить задачи 15—20 из трактата Ван Сяо-туна, содержащего задачи на кубические, квадратные и биквадратные уравнения. Это задачи о сторонах прямоугольного треугольника. Их можно рассматривать как дальнейшее обобщение такого класса задач.
Следующая группа задач на «метод гоу-гу» связана с описанными и вписанными в круг многоугольниками.
В задаче 16 книги IX [50, с. 510] круг вписан в прямоугольный треугольник, диаметр которого следует определить по заданным катетам треугольника. Имеется катет гоу в 8 бу и катет гу в 15 бу. Спрашивается, каков диаметр круга, вписанного в прямоугольный треугольник? [50, с. 510].
«Правило: 8 бу — гоу, 15 бу — гу, ищи гипотенузу» [50, с. 510].
Искомый диаметр вписанного круга находится по известным периметру и площади треугольника. Теорема Пифагора нужна для вычисления гипотенузы как промежуточной величины.
Решается и обратная задача: прямоугольный треугольник вписан в круг, найти его катет по гипотенузе и другому катету. 4 Такова задача 4 книги IX «Математики в девяти книгах», в которой определяется катет гу, равный 24 цуням, по гипотенузе и катету гоу, соответственно равным 25 и 7 цуням. Условие задачи гласит; «Имеется бревно диаметром 2 чи 5 цуней. Если выпилить прямоугольный брус толщиной, например, в 7 цуней, то спрашивается, какова будет его ширина?» [50, с. 507].
Весьма характерную группу задач, решаемых единообразно,, составляют задачи о сползающем столбе, прислоненном к стене (аналогичные задачи имеются в вавилонских текстах), о камышет растущем в середине квадратного водоема (подобные задачи имеются в индийских трактатах), о бамбуке, сломанном ветром и вершиной коснувшемся земли (также встречается у индийцев) и др. При решении этих задач рассматривается прямоугольный треугольник, для которого выполняются равенства
а?=с2 _ Ъ2 = (с+Ъ)(с — Ь),
260
причем известны по условию задачи а, с+& (или с — Ь). Тогда другие катеты находятся по правилу .
Ь =
(с + Ь)-аЧ(с + Ь)
с-
(С_6) + в*/(с-6)
а
3 /с
В
2 ' " 2
К. Фогель предложил следующую реконструкцию получения этих правил. Прежде всего
с—Ъ = а21(с+Ъ), c+b=a2/(c — b).
Тогда
2b=(c+b) - (с-Ъ),
где в правой части (с — Ъ) заменяется его выражением. Получается
b, выраженное через данные а и (с-\-Ь). Аналогично находим с, сложив тождества. Получится с, выраженное через заданные а и (с — й). Конечно, во времена Лю Хуэя эти тождественные соотношения могли быть интерпретированы и геометрически, но, судя по текстам древних вавилонян и китайцев, арифметико-алгебраическийпуть был, по-видимому, более ранним. Эти правила применяются при решении задачи: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть
камыш к берегу, то он коснется его как раз. Спрашивается, какова глубина воды и какова длина камыша?» (рис. 43) [50,
c. 507].
8. Тройки пифагоровых чисел Решение уравнения
в целых числах относится к области теоретико-числовых проблем. Такими проблемами занимались древние ученые и в древнем Вавилоне, и в древней Греции, и в древнем Китае.
Закон составления трех пифагоровых чисел — решений для уравнений Пифагора
Р2 — Я2 l Р2 + Я2
Рис. 43
где /?, # — натуральные числа, позволил выделить множество прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.
В китайских задачах по этим формулам решаются задачи, составляющие отдельный класс. В них катетами являются расстояния, которые проходятся с определенными скоростями, равными р, д. Такова задача 14 в книге IX древней «Математики в девяти книгах»:
261
«Два человека находятся в одном месте. Норма ходьбы А есть 7, норма ходьбы Б есть 3. Б идет на восток. А идет 10 бу на юг, а затем [идет] по косому [направлению] на северо-восток до встречи с Б. Спрашивается, какой путь прошел каждый из них, А и [50, с. 509].
Пусть А и Б выходят из точки М (рис. 44) и, пройдя соответственно МЬ-\-ЬМ и М1У, встречаются в точке N. Треугольник МИЬ — прямоугольный, надо найти М/У и /у/У. Пусть М/У=?, LN=z, МЬ=у = \0 бу. Здесь х2+Ю2=г2.
В трактате сначала составляются «нормы ходьбы» (сын люй), которым пропорциональны стороны треугольника: 21 : 20 : 29 = =М/У : МЬ : ?/У. Далее определяются длины этих сторон. По-
скольку одна из них МЬ известна, числа 21, 20, 29 находятся по указанному выше алгоритму:
72 і 32
«норма ходьбы по косому направлению»: —— = 29, «норма ходьбы на восток»: 7-3=21,
Найденные пифагоровы числа соответствуют наименьшим целым р = 7, (7 = 3.
Приведем задачу 21 из группы задач «на город»:
