Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть сторона города Р()=х, а расстояние до нее К(}=у (рис. 64). Здесь К и Ь — два дерева, а^иМ - измерительные столбики, расставленные по углам квадрата КЬМЫ со стороной КЫ=^й =160 бу. КЫ — веревка на уровне глаз наблюдателя, на которой точками проекции В л С отмечаются отрезки МВ = 1г и N0=1^ когда наблюдатель находится в точке О, причем ОМ=1 (у Чжана точкой наблюдений является точка М).
Правила вычислений искомых величин можно выразить в наших обозначениях формулами
Рис.
4. «Городская стена»
У
_й(й- 12)
д, (й — 1г) '' 1г — 1 (
Эти формулы получаются, если рассматривать пары подобных треугольников ОАВ и РКВ, (}КС и О АС. Из подобия первой пары следует отношение (х+у)/(<1—11)=(1/(11—I) и находится х+ у; из подобия второй пары следует у/(с1—12)=с1/(12—1) и находится у.
Задача 7 еще проще. Она похожа на задачу 23 книги IX «Математики в девяти книгах», но определяется расстояние от шеста до точки <2, а не высота наблюдаемого объекта, находящегося на расстоянии (}В (рис. 65). Задача аналогична задаче 12 первой книги трактата Чжана Цю-цзяня. Здесь шест АВ высотой А,
283
19*
/Г
й
наблюдение производится из точки 0, находящейся на уровне кх и на расстоянии АК=а. Следует определить расстояние х. Из подобия треугольников (прямоугольных) ОКА и АВ(} следует а/Ай=;г/й, где Мг=}г1—к.
Приведем условие задачи, она называется «Определение расстояния до противника». «Задача о войске противника, расположенном за горой на северном склоне, на неизвестном расстоянии от равнины. Тогда на ровной площадке ставят шест высотой в 4 чи. Человек отошел от шеста на 900 бу. [Делитель для бу 5 чи] и наблюдает основание горы вдали совпадающим с концом шеста. Глаз человека на высоте 4 чи 8 цуней. Как узнать, насколько далеко вражеское 0 войско? Ответ: 12 с полови-
ной ли».
Наконец, последняя задача 9 свитка VIII из книги Цинь Цзю-шао — вполне стандартная за-дача практической геометрии. В задаче определяется высота д пагоды Р()=Н при помощи 111 * шеста (рис. 66). Глаз наблюдателя находится в точке О на ГЛ Рис. 65} высоте Кх от земли. Известны
расстояния ВС=а и В()—Ь. В качестве шеста используется некая бамбуковая мачта с нанесенными на нее делениями. В задаче находится высота ее А. Высота пагоды в целом определяется просто: из подобия^прямоугольных треугольников РЬА и А КО, из пропорции (Я—к)/Ь= АА/а, где АА= А—/гх. В задаче еще требуется найти высоту крыши пагоды РВ—х, при этом наблюдатель фиксирует основание крыши на том же бамбуковом шесте в точке О (известно некоторое количество делений на нем, так что АВ = Г). После вычисления этого
в
"V"
«г
с ?ь
Рис 66. «Пагода» Рис. 67. «Лагерь противника»
отрезка I на шесте, полученного при проектировании высоты крыши, из подобия произвольных треугольников PRO и ADO, а также прямоугольных РМО и А КО следует ряд отношений:
х\1 = ОР\ОА = (а-\-Ъ)\а. Отсюда х—1 ^J"^. Тогда собственная
высота пагоды будет равной Н—х, а высота центральной колонны пагоды, которую требуется заменить (что является конечной целью вычислений), получается, если к собственной высоте пагоды добавить некоторую величину, данную в условии задачи. Заметим, что еще одна задача практической геометрии находится в свитке XVI (задача 2) книги Цинь Цзю-шао. Задача эта простая, типичная для измерений на местности. Надо найти диаметр d (рис. 67) неприятельского лагеря, находящегося за рекой, наблюдая из точки О с горы. Наблюдатель видит диаметр, который при этом проектируется на шесте AB=h, отстоящем на расстоянии DC=a, в виде отрезка AD = l, OC=h1.
Решение, очевидно, основано на способе «чжун-ча», хотя он здесь и не назван, а указан лишь способ «гоу-гу», т. е. указано только на прямоугольные треугольники. Здесь следует рассмотреть АРАБ ~ AAOL; пусть BQ=y, тогда (d+y)/h= =a/(h1—l). Из AQDB ~ ADOC следует y/h=a/h1, y=ah/h1, a d=ah/(h1—l)—y. Китайская приближенная формула выражена проще: d=allhx (она будет точной, если h1=h+l).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате многолетней работы над переводом сохранившихся древнекитайских математических трактатов автор постарался представить более или менее полно развитие математики в Китае со II в. до н. э. по VII в. н. э. Иногда приходилось обращаться к более древнему времени, иногда, наоборот, к более поздним XIII-—XIV вв. Первый случай имел место., например, при поисках древнейшей классификации фигур и тел, проистекавших из необходимости измерения полей, дамб, плотин. Второй случай, например, при изучении проблемы решения систем сравнений по модулю в задачах с остатками. При этом мы не раз наблюдали, что метод обращения задач, взятых непосредственно из практики, приводил к более сложным, чисто математическим задачам, над решением которых работали древние математики.
Зарождение группового десятичного счета и мультипликативного принципа фиксирования чисел еще в эпоху Инь (позиционная именованная система), изобретение в дальнейшем счетной доски для проведения на ней вычислений привело к появлению позиционной системы счисления (но только на доске во время вычислений!) вместе с десятичными дробями, которые на доске выглядели как дроби с «плавающей запятой». Знака нуля при этом не существовало, поскольку пустая клеточка означала пропуск разряда. Знаменатели и числители обыкновенных дробей располагались в определенных строках и столбцах, и на счетной доске дроби были представлены как пары чисел. Для действий со всеми этими числами были разработаны правила, очень похожие на современные; это были алгоритмы для счетной доски.
