Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следует заметить, что измерения на местности производятся также в «задачах о городе», имеющихся как в «Математике в девяти книгах», так и у Цинь Цзю-шао. Мы рассмотрели их выше в связи с численным решением уравнений высших [степеней.
13. «Метод чжун-ча» у Лю Хуэя. Подобие треугольников
Под таким названием Лю Хуэй поместил свои задачи по практической геометрии, хотя в самом тексте этот термин не употребляется. Термин заимствован из древней астрономии,
272
как и первая задача, рассмотренная Лю Хуэем. В древней астрономии была предпринята попытка определить- высоту Солнца над горизонтом и расстояние до места падения его вертикальных лучей. Лю Хуэй преобразовал эту задачу в задачу о земных расстояниях: он определил высоту морского острова и расстояние до него.
Первая задача Лю Хуэя такова:
«Наблюдают морской остров. [Для этого] установили пару шестов одинаковой высоты в 3 чжана. Предыдущий [шест] от последующего удален на 1000 бу. Пусть последующий шест вместе с предыдущим находятся на одной прямой. Если отойти по прямой от предыдущего шеста на 123 бу, то глаз человека,
Рис. 53.
«Морской остров»
р
n
V 4' —
8
[лежащего] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста совпадающим с вершиной острова. Если отойти по прямой от последующего шеста на 127 бу, то глаз человека, {лежащего] на земле, будет наблюдать верхний конец шеста также совпадающим с вершийой острова. Спрашивается, какова высота острова и его удаленность от шеста? Ответ: Высота острова 4 ли 55 бу, удаленность от шеста 102 ли 150 бу» [17, с. 233].
Пусть Р()=х — высота морского острова (рис. 53) (в астрономической задаче Р — Солнце). АВ и СО — измерительные шесты высотой к, соответственно «предыдущий» и (шоследую-щий».
Ог и 02 — точки, из которых виден пик острова Р. Расстояние от шеста АВ до острова ()В обозначим через у. Таким образом, заданы отрезки: АС=й=1000 бу, В01=а1 = 123 бу, О02 = =а2 = 127 бу, АВ = СВ=к=3 чжана.
Для решения следует провести С К \\А01 или осуществить параллельный перенос треугольника АВОг на расстояние й. Как на самом деле это осуществляли древние, неизвестно, чертежи до нас не дошли, мы реконструируем их сами по тексту древних задач и правил к ним. Из подобия прямоугольных треугольников РВА и СОК, а также треугольников РАС и СК02 следует ряд отношений их сторон
а1
273
откуда
x = hy-\-h, у — а^9
где
T = d/faa —
по названию этого отношения двух разностей метод решения подобных задач и был назван «двухслойной разностью». Этот метод состоит в том, что на основании подобия прямоугольных треугольников PRC и CD02, PR А и CD К и пропорциональности их сторон можно прийти к подобию произвольных треугольников РАС и СК02, стороны которых являются разностями d р и а2—аг сторон рассмотренных
^ ранее прямоугольных треуголь-
ников. И это подобие выражено «двухслойной» разностью, при-
хч/7 с чем у — коэффициент пропор-
^ ^ циональности.
_ ш . Вторая задача Лю Хуэя, —
~^~t ^ / ~^+0р ее дюбят цитировать в историко-
а* а* математической литературе
Рис. 54. «Сосна»
у аг (см. [81, с. 68, 147]), — анало-
гична первой; в ней определяется высота сосны, растущей на вершине холма, и расстояние до этого холма. Наблюдатель производит три наблюдения, два из которых такие же, как в первой задаче (при помощи двух шестов одинаковой высоты наблюдается вершина сосны), а третье наблюдение заключается в том, что находится проекция основания сосны на первом шесте (точка ?), (рис. 54). Таким образом, известны расстояния, на которые надо отойти от шестов, чтобы увидеть вершину сосны: ВО±=ах, Л02=а2, расстояние между шестами &, высота этих шестов К и отрезок I на первом шесте, который откладывается при наблюдении основания сосны из точки Ог. Решение также основано на подобии треугольников РАС и СК02, PRA и АВО±, Р80г л АЬОц полученных при проведении С К \\АО±. Здесь рассматриваются две пары произвольных подобных треугольников и одна пара прямоугольных. Из ряда отношений, составленных из сторон подобных треугольников, получаются формулы для искомых величин: У=а>1(, х=1у + 1. Здесь также у =<1/(а2—а1). Это те же формулы первой задачи, в них лишь для х взята величина а не А («сжатие»). Эта задача интересна именно в совокупности с первой, а также с последующими третьей и четвертой, поскольку они демонстрируют единый метод.
«Метод чжун-ча» продемонстрирован древним автором также на задачах 3, 4. Рассмотрим сначала задачу 4. «Наблюдают глубокое ущелье, смотрят вниз по угольнику, [стоя] у края наверху. Пусть высота [катета] гоу 6 чи. На конце [катета] гоу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на нижнем [катете] гу [отсекается! 9 чи 1 цунь. В другой раз установили
274
второй угольник кверху [от первого], расстояние между угольниками 3 чжана. Теперь на конце [катета] гу можно видеть [проекцию] дна ущелья, и [при этом] на верхнем [катете] гу [отсекается] 8 чи 5 цуней. Спрашивается, какова глубина? Ответ: 41 чжан 9 чи».
Известно: 0102=о1, 0±В^02В=к, АВ^а^ СВ=а2 (рис. 55). Искомая величина у находится следующим образом. Из подобия треугольников Р(?02 и СВ02 следует Р()1СВ=02()!02В\ а из подобия треугольников Р0О± и АВОг следует пропорция Р<2!АВ=01(2101В. Но 02В^Оф=К т. е. СВ-О&^АВ-ОЗ или
