Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Площадь правильного вписанного 27г-угольника Лю вычисляет по правилу
о _ п
где ап — сторона правильного вписанного 7г-угольника, подобного данному. Вот слова Лю: «Взяв сторону 6-угольника, умножь на полудиаметр, увеличь втрое, получишь площадь 12-угольника. Если снова' разделить его, то следующий раз сторона 12-угольника, умноженная на полудиаметр, увеличенная в 6 раз, даст площадь 24-угольника».
Процесс удвоения числа сторон не описан подробно, как у Архимеда. Лю Хуэй применяет здесь термин ге — «делить, резать». Процесс удвоения сторон предполагает нахождение середины стороны многоугольника, проведение через нее радиуса, соединение последовательно получившихся новых точек на окружности с вершинами рассматриваемого многоугольника. Таким образом, получается новый нужный многоугольник.
Дальше Лю Хуэй излагает основной принцип своего метода: «Дели их все мельче и мельче, и недостаток будет все меньше и меньше. [Если] делить их и делить до тех пор, пока деление не станет невозможным, то будет телесное совпадение периметра с окружностью и недостатка не будет». Это понятие предела древний автор выразил с помощью следующей терминологии. Здесь «недостаток» (ши) — то же, что и «зазор». При достаточно большом тг сторона а2п будет настолько малой, что делить ее «станет невозможно»
267
18*
(бу кэ ге). Периметр многоугольника, как сказал Лю Хуэй, «совпадает телесно», (хэ ти) с окружностью, и, таким образом, не будет «зазора» между окружностью и многоугольником.
Верхняя оценка Лю Хуэя такова: он рассматривает величину СЕ — «остаток от диаметра» (юй цзин) (рис. 47), который надо принять за высоту прямоугольника. Основанием этого прямоугольника служит сторона вписанного в круг ^-угольника. Таким образом, на каждой стороне гс-угольника строится узкий прямоугольник, «полоска» (бяо). В этих прямоугольничках заключены сегменты, остающиеся от круга при удалении из него п-
угольника. Эти прямоугольники Лю Хуэй описывает иероглифами ми чу гу бяо («полоска площади, выступающей за многоугольник»). Площадь этих полосок, примыкающих к ^-угольнику, равна *
Лю Хуэй пишет: «С внешней стороны угольника имеется остаток диаметра. Взяв сторону, умножь на остаток диаметра. Образуется полоска площади, выходящей за многоугольник. Если дугу делать все мельче, тогда круг совпадает с многоугольником и в измеряемой полоске не будет остатка диаметра. Полоска не будет иметь остатка диаметра, тогда и измеряемая площадь не будет выступать за пределы».
После этого Лю Хуэй обращается к учащимся и сетует на трудности вычисления площади круга, которая определяется не точно, но только приближенно.
Далее Лю Хуэй проводит свои вычисления сторон 6-, 12-, 24-, 48-, 96-угольников с применением теоремы Пифагора, значения этих сторон были нужны для определения площади многоугольника по приведенной выше формуле: «Способ преобразования 6-уголь-ника в 12-угольник: установи диаметр круга 2 чи, половина его будет равна 1 чи. Этому же [числу] равна сторона вписанного 6-угольника. Пусть полудиаметр 1 чи будет гипотенузой, полстороны 5 цуней будет катетом гоу. Возьми их для отыскания катета гу. Взяв квадрат гоу за 25 цуней, вычти из квадрата гипотенузы, остаток 75 цуней. Извлеки корень делением вплоть
268
до мяо, ху». В наших терминах Лю Хуэй предлагает произвести извлечение корня до четвертого десятичного знака: он пользуется десятичными дробями — фэнями (десятыми долями числа), ли (сотыми), мяо (тысячными) и #г/(десятитысячными). Дальнейшие десятичные дроби Лю Хуэй называет общим термином вэй — «мельчайшие».
В предположении Лю Хуэя полудиаметр ОБ=1 чи (рис. 48)— гипотенуза, полстороны БЕ=5 цуням — катет гоу прямоугольного треугольника ОБЕ, тогда другой его катет гу ОЕ будет равен
Цзу Чун-чжи (429—500), пожалуй, самый знаменитый китайский ученый в истории науки — его изображение помещено среди выдающихся деятелей мировой науки в фойе актового зала Московского университета. Цзу Чун-чжи знаменит главным образом своими вычислениями числа тт.
Цзу Чун-чжи был профессиональным астрономом; известно, что в 462 г. он исправлял и уточнял календарь того времени. Его календарь «Даминли» весьма известен в истории китайской астрономии. Свой способ вычисления круга он изложил в книге «Цзиши», этот способ так и называли цзи. В историях династий не раз указывается, что Цзу Чун-чжи и его сын Цзу Хэн были авторами книги «Цзищи», состоящей из 6 или 5 свитков. Указывается также, что Цзу Чун-чжи комментировал текст «Математики в девяти книгах». О Цзу Чун-чжи упоминают в своем трактате Ван Сяо-тун и Цинь Цзю-шао — математики, занимавшиеся численным решением уравнений высших степеней. Судя по этим упоминаниям, Цзу Чун-чжи уже в V в. рассматривал уравнения третьей степени. Сама книга Цзу Чун-чжи утеряна, и в математическом сборнике «Ши бу суань цзин» (1084), содержащем десять трактатов, этой книги уже не было.
Так как сочинение Цзу Чун-чжи утеряно, в истории китайской математики существует несколько гипотез относительно его метода вычисления числа тт. Основой для реконструкций служит единственная большая цитата из «Истории династии Суй», где упоминается, что вслед за Лю Ци, Чжан Хэном, Лю Хуэем занялся задачей измерения круга Цзу Чун-чжи й блестяще разрешил ее. Если принять диаметр круга равным 1 чжану, то «обвод круга» (юань чжоу) будет равен с избытком 3 чжанам 1 чи 4 цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 7 ху, с недостатком 3 чжанам 1 чи 4 цуням 1 фэню 5 ли 9 хао 2 мяо 6 ху. Истинное значение лежит между ними. «Точное значение» для диаметра круга равно 113, длина окружности равна 355, их сокращенные значения — диаметр равен 7, окружность равна 22.
