Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Имеется город в виде квадрата со стороной в 10 ли, в центре каждой [стороны] [находятся] ворота. А и Б, находясь в центре города, начинают двигаться: Б идет на восток, А — на юг, какое количество он проходит от ворот, неизвестно. [Затем] он [А] идет по косому направлению так, что проходит возле угла [стороны] восточных ворот, и догоняет Б. Норма ходьбы А есть 5, Б есть 3. Спрашивается, какие пути пройдут А и Б каждый в отдельности?» [50, с. 512].
В задаче (рис. 45) требуется определить Л/ТУ, МЬ-\-ЬМ. Известно КЕ = Ъ ли. Напомним, что старинный 1 ли = 300 бу. Здесь также находятся сначала пифагоровы числа х, у, %, которым пропорциональны стороны треугольника причем здесь р — 5, д=3. Тогда «норма ходьбы по косому направлению» 2=(/?2+#2)/2 = 17, «норма ходьбы на юг» у=р2 — 2=8, «норма ходьбы на восток»
«норма ходьбы на юг»: 72—
= 20.
262
х=р-д = 15. Здесь
кь кг
мь
х
У
откуда
КЬ =
КГ .у
МЬ • 2
MN =
МЬ . х
х
У
У
Правило решения этой задачи таково: «5 умножь само на себя, также 3 умножь само на себя, сложи и возьми половину, это норма ходьбы по косине. Норму ходьбы по косине вычти из пяти, умноженного само на себя, остаток есть норма ходьбы на юг. 3 умножь на 5, это норма ходьбы на восток. Возьми половину стороны города, умножь на норму ходьбы на юг, объедини с нормой ходьбы на восток, это и будет количество бу, пройденное от южных ворот. Добавь к половине стороны города, это и будет дорога на юг. Установи [количество] бу по южной дороге [или гипотенузу], умножив на норму ходьбы по косине, ищи [путь] на восток, умножив на норму ходьбы на восток. Каждый раз это делимое. Объедини делимые с нормой ходьбы на юг, получатся [искомые] количества бу». [Там же].
Задачей об измерении круга занимались еще в глубокой древности. Во всех древних цивилизациях (по-видимому, эмпирически) было замечено, что длина окружности примерно в три раза больше длины диаметра, т. е. принимали 7г=3. Но и в древнем Египте, древнем Вавилоне, древнем Китае, древней Греции математики старались вычислить это отношение более точно, в частности этой проблеме посвящено «Измерение круга» Архимеда [3, с. 226— 271]. Древнекитайские математики занялись этой задачей в I—V вв. н. э. Математик III в. Лю Хуэй вычислил число тг почти по-архимедовски. В V в. Цзу Чун-чжи получил значение числа тс с шестью верными десятичными знаками. Сочинения Цзу Чун-чжи, к сожалению, не сохранились, но текст Лю Хуэя дошел до нас в виде комментариев к двум задачам книги I «Математики в девяти книгах».
Отношение длины окружности к диаметру выражалось словами: «Обвод 3, диаметр 1» (чжоу санъ, цзин и). В дальнейшем это значение числа тс называли «древним коэффициентом» (гу люй) в отличие от более точных коэффициентов (ми люй). Термин люй —
9. Древние значения числа <к. Эталон мер Ван Мана
263
«коэффициент» широко применялся в древнекитайской математике для обозначения отвлеченных чисел; для именованных чисел, представляющих конкретные количества, применялось слово шу.
Как и всюду в древности, в китайской математической литературе долгое время вычислителями широко употреблялось значение числа тг^З даже тогда, когда уже были известны «лучшие» приближения этого числа.
В «Математике в девяти книгах» для определения площади круга, кольца и т. д. пользуются приближенными формулами, основанными на значении тт;=3. Только в одном месте при вычислении диаметра сфзры по ее объему пользуются значением ти=27/8 = =3,375, по-видимому более удобным для извлечения кубического корня [50, с. 471, правило к задачам 23 и 24 книги IV]. Самый поздний комментатор Ли Чунь-фэн каждый раз по поводу решения задачи, в котором применяется число ти, указывает более точное значение 7г=22/7, и так по всему «Десятикнижью». Он часто пересчитывает задачу и дает более точный соответственно ответ. Значит, к VII в. в практику вошло значение 71=22/7, оттеснив все остальные. Древние жз тексты нз перзделывались, а все исправления делались, согласно установившимся правилам, в комментариях.
Такоз жз значение тг применяется в трактате Чжан Цю-цзяна при решзнии задачи 20 первой книги его трактата, где из кубического чи глины требуется сделать ядра диаметром в 1 цупъ (1 чи — = 10 цупям). К задаче приложены два правила. В первом подсчет проведен при 7г=27/8, а во втором «способе в соответствии с более точным коэффициентом» учитывается, что 71=22/7; на это значение указывает и Ли Чунь-фэн [51, с. 35, 68].
Кроме этих значений, в древнем Китае были известны еще несколько приближений числа тт. Лю Ци (59 г. до н. э. — 23 г. н. э.) вычислил 7^3,15. Астроном Чжан Хэн (76—139 гг. н. э.) предложил 7г=\Д0 и 92/29=3,1724. . . Ван Фань применял тг^142/45= =3,1556. И, наконец, Лю Хуэй предложил свой способ вычисления числа 71=157/50 = 3,14, изложив его в комментариях к задачам книги I «Математики в девяти книгах».
Известный политический деятель и реформатор эпохи Хань, Ван Ман, дал указание своему чиновнику Лю Ци провести стандартизацию мер и весов. В 1—5 гг. н. э. Лю Ци по образцу системы мер в каноне «Чжоу ли» создал медный ху, назвав его «Гармонично прзкрасная мера ху» (Люй цзя лянъ ху). Это был эталон для пяти мер: юг, гэ, шэиа, доу жху. Сверху была сделана надпись и пояснение для каждой меры. В этом тексте содержится первое в истории древнекитайской математики отличное от 3 значение 71^3,1547, предложенное Лю Ци для измерения круга.
