Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если предположить, что Цзу Чун-чжи, редактируя «Математику в девяти книгах», следовал за Лю Хуэем и пользовался
11. Цзу Чун-чжи
269
его методом, то он должен был принять диаметр круга равным 108 чжанамг применить неравенство Б2п < 5 < ^+(^,-5,) и вычислить площади вписанных правильных 12288-, 24576-угольников, и, таким образом, получается неравенство
3,1415926 < ти < 3,1415927.
Мы уже указывали, что Цзу Чун-чжи дал приближенные значения числа тс в простых дробях 22/7 и 355/113. Так как эти дроби являются подходящими дробями для непрерывной дроби, выражающей отношение длины окружности Рис. 49. Цзу Чун-чжи к Диаметру, некоторые исто-
(429—500) рики науки считают, что
Цзу Чун-чжи пользовался непрерывными дробями. Результат Цзу Чун-чжи был перекрыт в 1427 г. самаркандским математиком ал-Каши.
Мы уже упоминали вычисление Цзу Чун-чжи и его сыном Цзу Хэном объема шара с помощью атомистических (соображе-ний.
В «Истории династии Сун» говорится, что Цзу Чун-чжи занимался «площадями и объемами, находя их по разностям с помощью извлечения корней». Это значит, поясняет Цянь Бао-цун [110, с. 86], Цзу Чун-чжи находит по площади или объему значение неизвестной «ширины», если известны ее разности с «длиной» и с «высотой». Если х — ширина, х+к — длина, х-\-1 — высота параллелепипеда с объемом V, то У= —х (х+к) (#+/), т. е. получается кубическое уравнение для х. Аналогично для прямоугольника получается квадратное уравнение. Имеется упоминание об отрицательных числах, по-видимому, Цзу Чун-чжи применял их в качестве коэффициентов уравнений.
Ван Сяо-тун пишет также о задачах Цзу Чун-чжи о шарах и пирамидах и о его задачах «о городе», по-видимому близких к задаче 20 книги IX «Математики в девяти книгах»: эта задача, как известно, составлена специально для численного |решения квадратного уравнения, когда корень уравнения находится путем «извлечения корня делением». У Цинь Цзю-шао задача такого же класса применяется для численного решения уравнения десятой степени.
Глава четвертая
определение расстояний до недоступных предметов
12. Три классические задачи древней «Математики в девяти книгах»
Три самые последние задачи «Математики в девяти книгах» относятся к практической геометрии. Именно к ним Лю Хуэй написал приложение, которое впоследствии составителями «Десятикнижья» было превращено в самостоятельный «Трактат о морском острове».
В «Математике' в девяти книгах» представлены все три вида простейших измерений на местности: с помощью веревки, шеста и угольника, которые применялись и в дальнейшем в китайской измерительной практике. В этих простейших случаях производится одно измерение для определения одной неизвестной: находятся расстояние до дерева, высота горы и глубина колодца. Для решения в этих задачах достаточно рассмотреть пару подобных прямоугольных треугольников.
В задаче 22 девятой книги «Математики в девяти книгах» измеряется расстояние y=AD (рис. 50) от наблюдателя до дерева с помощью четырех столбиков А, В, С, О, расставленных по углам квадрата АВСО со стороной, равной 1=1 чжану. Когда человек смотрит на дерево из точки О, то проекция дерева — точка Е — на стороне ВС отсекает отрезок ЕС '=1г=0,03 чжана (в оригинале десятичных дробей нет, но мы выражаем все величины в одной мере, в чжанах — китайских саженях). Искомое расстояние находится из пропорции, составленной на основании подобия
треугольников AOD и СЕО: у = ^-^-. Эта задача составлена для
1
того, чтобы продемонстрировать определение расстояния до недоступного предмета с помощью мерной веревки и фиксированной на ней проекции данного предмета. В решении используется подобие двух прямоугольных треугольников.
В следующей задаче 23 этой же книги определяется высота горы PQ=x (рис. 51). Расстояние BQ=b до нее известно. Наблюдатель пользуется шестом высотой AB=h1. Известно расстояние BD=d. Известен также DO=h — уровень зрения наблюдателя. В этой задаче рассматривается пара подобных и подобно расположенных треугЬльников АКР и OLA. Искомая величина находится из пропорции
x — h1_h1 — h _b (hi — h) . ,
Ъ — d ИЛИ X—-d--
Эта задача посвящена измерению высоты недоступного предмета с помощью измерительного шеста. Для решения задачи используется'пара подобных прямоугольных треугольников.
271
Рис. 50.
«Дерево»
• 6 н
/
д
/г
3
Рис. 51.
«Гора»
3
3
а
V___А?
Рис. 52.
«Колодец»
Наконец, последняя задача «Математики в девяти книгах», задача 24 книги IX, заключается в том, что в -ней определяется глубина колодца ВО=х при помощи измерительного шеста заданной высоты ОА=к (рис. 52). Измеряется отрезок АЕ = 1, полученный при проектировании «границы воды и стены» — точки В — на диаметр колодца АВ=й, когда наблюдатель смотрит из точки О. Искомая величина находится по формуле
Ь,(<1 — I)
в которую входят стороны подобных прямоугольных треугольников ОАЕ и ВВЕ. Эта задача относится к измерениям на местности, когда пользуются угольником, т. е. двумя линейками, соединенными под прямым углом, при этом вертикальная линейка постоянной «высоты», а на горизонтальной линейке отмеряется отрезок от вершины прямого угла до точки — проекции наблюдаемого объекта. Таким образом, эта задача составлена на измерение глубины с помощью угольника. Снова используется пара подобных прямоугольных треугольников.
