Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
а динамическое условие (1.11) на свободной поверхности будет
-3T =-4-А 0-104)
3 Заказ № 5 33
Условие (1.9) на дне имеет вид
-?- = ? (1.105)
где Wb — заданная скорость деформации дна.
Кадзиура подошел к решению задачи с помощью зависящей от времени функции Грина G, гармонической по переменным
X9 У у Z С ОСОбеННОСТЬЮ В НеКОТОрОЙ ТОЧКе (АГо, У Oy Zq)9 вводимой
при t = x. Функция Грина удовлетворяет уравнению Лапласа V2G = O при 0>2> —1 и *>т. (1.106)
В безразмерных переменных z = 0 соответствует невозмущенной поверхности, а г = —1—дну. Условия (1.103) и (1.104) дают
Ч^ + ~Ж-=° ПРИ z = 0> 0-107)
а условие (1.105) на дне переходит в
4~ = 0 при г = —I. (1.108)
При t = x вначале предполагается, что
G = ~ = 0 при z = 0. (1.109)
Должны быть соблюдены еще следующие условия ограниченности: а) при х-*оо и у-*оо функции G и dQ/дт и их первые производные по X и у должны быть равномерно ограничены для всех X и у; б) в точке (Xq9 уq9 Zq) должно быть ограничено значение (G — 1/R), где
R = [(X - x0f + (у - Уо)2 + (* - Z0)2]''2. (1.1Ю)
При выполнении этих условий функция G может быть определена единственным образом.
Следуя Стокеру (1957), Кадзиура выразил функцию Грина через функции Бесселя и гиперболические функции. Окончательно он получил следующее выражение:
4 + P=TS-J + ^2 + Fuds> (1ЛП)
где ds=dxdy9 a F\9 F2, Fz имеют следующий смысл: F\ — вклад начальной скорости и повышения свободной поверхности, F2 — эффект поверхностного давления, Fz — вклад деформации дна.
Кадзиура [304] рассмотрел пять вариантов начальных условий в очаге, каждый раз задавая соответствующую вынуждающую функцию: а) начальное возвышение, б) импульс давления, в) мгновенную деформацию дна, г) деформацию дна на конеч-
34
ном интервале времени, д) импульсивное движение дна без деформации. Во всех случаях жидкость вначале предлагается покоящейся.
Свои результаты Кадзиура суммировал в следующей таблице:
Начальное возвышение поверхности или внезапная Поверхностный импульс
деформация дна
0>3 q<\ Q>Z q<\
Одномерное распростра- О —1/3 —1/3 —2/3 нение
Двухмерное распростра- —2/3 —1 —1 —4/3 нение
Числа в таблице означают показатель степени при величине г, характеризующий быстроту убывания высоты головной волны цунами с удалением от очага его зарождения. Очаг предполагается прямоугольным с большой осью 2ха и малой 2хь. Параметр q определяется соотношением
,„{JLA}^. СМ12)
Если берется волна в направлении малой оси очага, ось ха нужно заменить осью хъ.
Практические приложения работы Кадзиура [304]
Ле, Меоте [358] показал, как можно упростить теорию Кадзиура для решения практических задач. Он рассмотрел волны, возбуждаемые взрывом на поверхности воды или вблизи нее. В этом случае член Fz в, выражении (1.111) несуществен. Ле Меоте нашел, что нет необходимости применять общую теорию Кадзиура для практического случая и можно выразить эффекты распределения начальных скоростей и давления в виде соответствующей фиктивной деформации поверхности, которая выбирается таким образом, чтобы рассчитанные волны оставались по существу такими же, как при действительных значениях скорости, деформации и давлении.
Ле Меоте начинает со следующего выражения, в общем соответствующего решению Кранцера—Келлера:
оо ( ос 1
т](г, f) = [ k cos (W) J0 (kr) I j Y]0 (го) J0(kr0)r0dr0\dk, (1.113)
3*
35
где T]0 (r0) — начальная деформация. Для больших значений г и t функция Jq (kr0) заменяется некоторой асимптотикой и получающийся при этом интеграл вычисляется приближенно методом стационарной фазы:
Л cos[xr —/(X th X)172J» (1.114) где
OO
Ч = J Ъ(го) Jo(*/"о)r0dr0 (1.115)
о
и групповая скорость Cg дается выражением
cg^-^(kthk)U2+-*-, (Lue)
LK 1/2
2ch2(?) (ifeth a)
a kp — есть частное значение К для данных г и t, находимое из соотношения
Cs=1T- (1.117)
Теперь задача сводится к тому, чтобы с учетом глубины и характеристик взрыва найти такую функцию T)0 (г0), при которой выражение (1.114) достаточно точно описывало бы волновой цуг.
В выражении (1.114) косинус представляет индивидуальные волны, тогда как общий множитель представляет их изменяющиеся амплитуды, огибающая которых задается выражением
(1.118)
где К — корень уравнения (1.117). Из выражения (1.118) следует, что для любого фиксированного значения г наименьшее не равное нулю значение /С, при котором dA/dK = 0, не зависит от значения г. Это означает, что первый максимум огибающей волны при dA/dK = 0 связан с постоянным значением К (т. е. с постоянными значениями длины волны и периода) на всем пути распространения волны. Это постоянное значение К для первого максимума огибающей /Стах зависит только от характе-
kC о
(--?-)
36
ристик очага возмущения Tj0 (го) через множитель ц (К). Оценка этого максимума дается выражением
кск ™
ч
dCa
dK
= const
(1.119)
для любой деформации г\о{г0)у откуда следует, что амплитуда наибольшей волны обратно пропорциональна расстоянию.
Ле Меоте [358, с. 9] обосновывает замену параметра Лтах параметром т]тах. Он накладывает следующие ограничения на выбор параметра Цо(го): а) форма результирующей огибающей должна быть подобна наблюдаемой так, чтобы некоторое изме-нейие в числовых значениях коэффициентов позволило получить приемлемый результат, б) преобразование Ханкеля от значений T)0 (го) должно получаться в замкнутой форме. Этим условиям удовлетворяет такое выражение для возмущения в очаге:
