Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
На основании решения второго порядка можно сделать следующие заключения [441]: профиль свободной поверхности не синусоидальный, а трохидальный, т. е. возвышение гребня больше, чем глубина ложбины. Орбиты частиц не круговые и незамкнутые. Таким образом, имеет место результирующий перенос частиц в направлении распространения волн.
На рис. 1.1 показаны области существования различных решений в координатах X/D и аД, где а — вертикальное расстояние между гребнем и подошвой волны. Два вида разрушений ограничивают область существования периодических волн. На глубоководном конце шкалы расположены так называемые волны максимальной высоты, которые, если они существуют в виде стационарных волн на течении, «замораживают» движение частиц в своих гребнях, заостренных в форме клина, что впервые было показано Стоксом. Волны промежуточных высот, которые также были вычислены Стоксом, носят теперь его имя.
С другой стороны, на длинноволновом конце шкалы, скажем, при X>8D, существование периодических волн ограничено амплитудной дисперсией. Это проявляется в тенденции каждого
значения ц распространяться со скоростью ig(D + r\) соответст-
P dt
(1.70)
24
венно местной глубине, а не со скоростью ^gD соответственно средней глубине. Эта дисперсия, а также тот факт, что скорости частиц при положительном значении ц направлены в сторону распространения волны, а при отрицательном — в обратную сторону, будут приводить к увеличению крутизны волны до тех пор, пока не возникнет гидравлический прыжок или бор.
Если амплитуда волны не слишком велика, амплитудная дисперсия может быть в точности сбалансирована частотной
а/Х
Рис. 1.1. Диаграмма классификации волн по длине и амплитуде. (Видоизмененная диаграмма 4 из работы Лайтхилла [361].)
/ — образование брызг, // — капиллярные волны, /// — волны Стокса, IV — синусоидальные волны, V — кноидальные волны, VJ — увеличение крутизны волны и образование бора.
/ — волны наибольшей высоты, 2 — уединенная волна.
дисперсией, благодаря чему периодические волны могут существовать. Это, например, кноидальные волны, существование которых зависит от того, что высокие гармоники распространяются медленнее основных, так что для некоторых волновых форм этим эффектом может уравновешиваться увеличение крутизны волны, обусловленное амплитудной дисперсией. Искажения волнового профиля за счет частотной дисперсии пропорциональны D2A2, а за счет амплитудной — a/D. Таким образом, любая данная кноидальная волна возможна при фиксированном отношении a/D : D2IX2. Предельному случаю соответствует уединенная волна, для которой a№/D3tt25. Рассел [563] получил уединенную волну в лабораторном эксперименте.
При амплитудах, больших, чем у уединенной волны, происходит образование бора, тогда как при чуть меньших амплисудах кноидальный волновой цуг начинает вырождаться в последовательность изолированных уединенных волн. На рис. 1.1 две кривые для различных видов обрушения сходятся в точке, соответствующей «уединенной волне наибольшей высоты», вычисленной
25
Мак-Коуэном [395]. О новейших исследованиях уединенных волн можно прочесть у Лонге-Хиггинса [369] и Лонге-Хиггинса и Фентона [370].
1.2. Задача Коши—Пуассона
Классическая задача
Задачей Коши—Пуассона называют задачу о поверхностных волнах с начальными условиями. Классическая задача, как она описана Ламбом [5], относится к одномерным стоячим волнам в океане бесконечной глубины. Классическая задача едва ли пригодна для изучения цунами, но она проста и может быть использована для ознакомления с основными понятиями. Рассмотрим два различных начальных состояния: начальное смещение свободной поверхности при нулевых скоростях и начальное распределение потенциала скорости при горизонтальной поверхности.
Рассмотрим сперва случай начального смещения поверхности. Поместим начало координат на невозмущенной поверхности. Уровень воды т] и потенциал скорости ср для простых гармонических стоячих волн можно записать в виде
Tj = cos (со/) cos (kx), (1.72)
ср= *8|па("'> g*'cos (Ах), (1.73)
где
a* = gk. (1.74)
Начальное состояние задается в виде
1 = /(-«), ср0 = 0. (1.75)
Двойной интеграл Фурье даст
СЮ OO
/(jc)=-i-Jrf* j / (a) cosk (х-а) da. (1.76)
О —ею
Из уравнений (1.72), (1.73), (1.75) и (1.76) следует, что
OO OO
Tj = -1- j* cos (о)/) dk \ /(a)cosA(JC — a)da, (1.77)
О — со
OO OO
<P=-M 8'n(w0 ekzdk \ f(a)cos/fe(X-a)du. (1.78)
O —oo
26
Предполагая, что область начального возмущения невелика и сосредоточена вблизи начала координат и, следовательно, что функция / (а) отлична от нуля для бесконечно малых значений а, Ламб выразил величины ф и ц в виде ряда, а также в другой форме, включающей интегралы Френеля.
Для случая начального потенциала в качестве начальных условий имеем
PTo =/С*), 4 = 0. (1.79)
Дальнейшая процедура подобна изложенной выше.
Для больших значений gt2/(4x) справедливы следующие приближенные выражения: для начального возвышения
для начального импульса
Недостаток этих решений в том, что с приближением к началу координат длина волны монотонно убывает, тогда как высота ее асимптотически растет.
