Сейсмические морские волны. Цунами - Мурти Т.С.
Скачать (прямая ссылка):
ЧоС^о) =
4omax[2(-^)2~l] при г0</?, О при г0>/?,
(1.120)
ГДЄ T]Q1
коэффициент, появляющийся «в выражении:
7Io
к-»
Xcos [k — t(kthk)'h].
(1.121)
Таким образом, в выражение для огибающей амплитуды А входят два параметра (Лотах и /?), характеризующие исходную
деформацию. Посредством эмпирического определения этих параметров Ле Меоте связывает теорию с экспериментом (см. главу 2).
Другие эффекты в задаче Коши—Пуассона
Брэддок и Ван-дер-Дрисхе [89] развили теорию задачи Коши—Пуассона для источника, асимметричного относительно оси цилиндрической полярной системы координат, начало которой помещено на дне. Скорость движения дна предполагается заданной в виде
F(JC, у, 0 = ^(^)^0^)^(0- (1.122)
Хотя может показаться, что такое разделение переменных чрезмерно упрощает задачу, некоторого обобщения можно добиться,
37
разлагая величины X(x)f Y (у) и T (t) в ряды по ортогональным функциям. Такое представление движения дна является более общим, чем в теории Кадзиура:
Х(х)= 2 атНт(х)ехр[ — ПРИ ~"оо<х<оо,
т =0
v(у)= 2 Р«^«(у)ехР(--?-) ПРИ -°°<У<<», s
/2 = 0
ОС
ПО = 2 їА>(0ехр(--f-) при 0<t<<x>;
(1.122a)
здесь Нт (х) — полином Эрмита степени mf Lp (t) — полином Лагерра степени р.
Коэффициенты ат, ?n и ур находятся следующим образом:
OO
ат = 1тт\ x Х (Х) ехР ( —Г") Я>" W dX'
ОС
' 2"btu S r(y)exp(-4-)//„(y)rfy, (1.123)
V —оо .
ОС
* b=^rJT(t)exp(—t-)Lp(t)dt.
Из-за наличия знаменателей 2™, т!, я!, р! коэффициенты аш, ?n и 7р быстро убывают с ростом значений m, п и р, так что практически достаточно знать только несколько первых членов.
Возможно, что область очага цунами окажется очень близко к берегу, как при неглубоком подводном землетрясении или ядерном взрыве. В этом случае нужно принять во внимание влияние уклона дна на характер возбуждаемых волн. Слаткин [581] применил для изучения этого вопроса трехмерную модель.
Начало прямоугольной декартовой системы помещено на невозмущенной свободной поверхности воды, ось Z направлена вверх. Дно описывается функцией Z = —D (х, у, t), свободная поверхность — функцией т] (Xy у, t). В линейной теории мелкой воды при отсутствии вращения волновое уравнение записывается в виде (см. [5]).
J(V(DV4)}—S-=--^-, (1.124)
где V—оператор градиента. Представим изменяющийся профиль дна в форме
D (х, у, О = D0 (у) + D1 (х, у, О, (1 • 125)
38
где Z?i<Coo, a D0 (у)—профиль дна в невозмущенном состоянии, определенный в области #<оо. Берегу океана соответствует у = 0.
Выражение (1.124) с учетом уравнения (1.125) дает волновое уравнение, которое, если пренебречь членами высших порядков, имеет вид
sidDo(y)-^} + ^oidr-^=-v-- (1Л26)
При у = 0 должны выполняться следующие граничные условия:
(IrLo=0'если D^0^0' (1Л27>
или (т])у = о ограничено, если D0(O) = O. Определим
OO OO
Tj(K1 у, S)= J eiix\e~st-n(x, у, t)dtdx (1.128)
— оо О
и подвергнем выражение (1.126) преобразованию Лапласа по t и преобразованию Фурье по х:
g4y-{Do(.y)J^}-(gD0k* + S>)rl = F(k, у, S), (1.129)
где
OO OO
F(K ytS)=-\e^]e-st^-dtdx +
—оо О
+ 5fj(A, у, ^ = 0) + ^-(*, у, * = 0). (1.130)
Поскольку движение дна конечной продолжительности приводит к такому же эффекту, как и начальное смещение поверхности [260], метод решения оказывается в известной мере независимым от действительной природы очага.
Пусть для глубины D0 (у) принято
D0(V) = D0[I-е~ау), (1.131)
где Dq и а — заданные величины. Эта функция конечна при у = оо и аналитически выражается в интервале 0<{/<оо. Определим
V = e~*y. (1.132)
Тогда выражение (1.129) перепишется так:
39
Таким образом задача сведена к решению выражения (1.133) при условиях, что а) ц конечно при 1/ = 0, б) т] конечно при У = 1, в) выполняется условие излучения. Чтобы решить эту задачу, Слаткин [581] определил собственные функции (различные возможные волновые моды), соответствующие однородной части уравнения (1.133) и выразил величину G через эти функции. В результате оказалось, что длинные волны могут быть захвачены в прибрежной полосе и распространяться вдоль берега со скоростью У gD и энергия этих волн затухает скорее как х~1/2, чем как Ar-1, так что у берега энергия оказывается больше, чем можно было бы ожидать, судя по амплитудам волн на глубокой воде. Приложение этой теории к цунами от аляскинского землетрясения 1964 г. будет обсуждаться в главе 2.
Задача Коши—Пуассона с учетом вязкости
Сретенский [13] рассмотрел развитие прогрессивных одномерных поверхностных волн в вязкой жидкости. Бассет [68] и Ламб [5] изучили основные движения жидкости и разделили их на три категории: а) затухающие гравитационные волны, в которых силы тяжести и инерции в основном уравновешивают друг друга, но движение модифицировано силами вязкости; б) диффузионное движение, при котором в основном уравновешены силы вязкости и инерции; в) пластические волны, в которых в основном уравновешены силы тяжести и силы вязкости. Относительное значение каждого из этих типов движения для любых начальных условий зависит от «длины вязкости»
где V — кинематический коэффициент вязкости.
